Producto de variables aleatorias uniformes

Question

Dejemos que $X_1, X_2, \cdots, X_n$ sean variables aleatorias iid tales que $X_i \sim U(0,1)$ para $i=1,2,\ldots,n$ . Encontrar el valor de una constante $k$ tal que $P(\prod_{i=1}^n X_i \ge k)=0.05$ si $n=100$ .

Intento:

Dejemos que $Y_i=\ln(X_i)$ . Entonces, $Y$ es una v.r. exponencial con media $1$ . Entonces el problema se reduce a un problema CLT, con $P(\prod_{i=1}^n X_i \ge k)=0.05 \Longrightarrow P(\sum_{i=1}^n Y_i \ge \ln k)=0.05$ . Configuración $n=100$ la probabilidad se reduce a $P\left(Z \ge \frac{\ln k - 100}{10}\right)=0.05$ . La resolución de esto me da $k=e^{116.45}$ lo que creo que es un error ya que $k$ es demasiado grande.

Answer 1

Como En escribió antes que tiene poco que ver con el CLT. El planteamiento es el siguiente: tomar el logaritmo, obteniendo así la suma de los VR distribuidos exponencialmente. Esta suma es $\chi^2$ distribuido con $2n$ grados de libertad:

Como ha escrito antes usando una distribución exponencial $Y_i$ con $\lambda = 1$ ( $Y_i=-\ln(X_i)$ ), obtenemos

$$P(\prod_{i=1}^n X_i \ge k)=0.05 \Longrightarrow P(-\sum_{i=1}^n Y_i \ge \ln k)=0.05 \Longrightarrow P(\sum_{i=1}^n Y_i \le -\ln k)=0.05.$$

Como sabemos por Wikipedia : $$\sum_{i=1}^n \mathrm{Exp}(1) \sim \frac{1}{2}\chi_{2n}^2$$

Así, utilizando una notación bastante descuidada, obtenemos $$P(\chi_{2n}^2 \le -2\ln k)=0.05$$ y a continuación $$k=\exp\bigl(-0.5\cdot Q_{200}(0.05)\bigr)$$ con función cuantílica $Q$ para $\chi^2$ distribuido RV con grado de libertad 200. Utilizando el lenguaje R obtenemos

exp(qchisq(p = 0,05, df = 200)*(-0,5))

que es igual a $k=2.875916e-37$ . Parece muy pequeño, pero si probamos (de nuevo con R)

quantile(-log10(sapply(1:1000, function(x) prod(runif(100)))),probs = 0.05)

obtenemos 36,19577, por lo que nuestro cálculo parece plausible.