Tenía curiosidad por conocer otro método de prueba para esto:
Dado $a$ , $b$ y $x$ son todos números naturales,
$\gcd(ax,bx) = x \cdot \gcd(a,b)$
Estoy seguro de haber encontrado el método utilizando un divisor común genérico y el teorema que dice que un número entero $C$ es un divisor común de enteros $A$ y $B$ si $C|\gcd(A,B)$ .
¿De qué otras formas se puede demostrar esto? ¿Es posible la factorización de primos? ¿O algún otro método?
A continuación se muestran $3$ pruebas de la ley distributiva de gcd $\rm\:(ax,bx) = (a,b)x\:$ utilizando la identidad de Bezout, las leyes universales de gcd y la factorización única.
Primero mostramos que la ley distributiva gcd se deduce inmediatamente del hecho de que, por Bezout, la gcd puede especificarse mediante ecuaciones lineales. La distributividad se debe a que tales ecuaciones lineales se conservan mediante escalas. En concreto, para las naturales $\rm\:a,b,c,x \ne 0$
$\rm\qquad\qquad \phantom{ \iff }\ \ \ \:\! c = (a,b) $
$\rm\qquad\qquad \iff\ \: c\:\ |\ \:a,\:b\ \ \ \ \ \ \&\ \ \ \ c\ =\ na\: +\: kb,\ \ \ $ algunos $\rm\:n,k\in \mathbb Z$
$\rm\qquad\qquad \iff\ cx\ |\ ax,bx\ \ \ \&\ \ \ cx = nax + kbx,\,\ \ $ algunos $\rm\:n,k\in \mathbb Z$
$\rm\qquad\qquad { \iff }\ \ cx = (ax,bx) $
El lector familiarizado con los ideales observará que estas equivalencias se recogen de forma más concisa en la ley distributiva de la multiplicación ideal $\rm\:(a,b)(x) = (ax,bx),\:$ cuando se interpreta en un dominio PID o Bezout, donde el ideal $\rm\:(a,b) = (c)\iff c = gcd(a,b)$
Alternativamente, de forma más general, en cualquier dominio integral $\rm\:D\:$ tenemos
Teorema $\rm\ \ (a,b)\ =\ (ax,bx)/x\ \ $ si $\rm\ (ax,bx)\ $ existe en $\rm\:D.$
Prueba $\rm\quad\: c\ |\ a,b \iff cx\ |\ ax,bx \iff cx\ |\ (ax,bx) \iff c\ |\ (ax,bx)/x\ \ \ $ QED
La prueba anterior utiliza la universal definiciones de GCD, LCM que a menudo sirve para simplificar las pruebas, por ejemplo, véase esta prueba de la ley GCD * LCM.
Alternativamente, comparando potencias de primos en factorizaciones únicas, se reduce a lo siguiente $$\begin{eqnarray} \min(a+x,\,b+x) &\,=\,& \min(a,b) + x\\ \rm expt\ analog\ of\ \ \ \gcd(a \,* x,\,b \,* x)&=&\rm \gcd(a,b)\,*x\end{eqnarray}\qquad\qquad\ \ $$
La prueba es precisamente lo mismo que la prueba anterior, sustituyendo gcd por min, y dividiendo por $\,\le,\,$ y
$$\begin{eqnarray} {\rm employing}\quad\ c\le a,b&\iff& c\le \min(a,b)\\ \rm the\ analog\ of\quad\ c\ \, |\, \ a,b&\iff&\rm c\ \,|\,\ \gcd(a,b) \end{eqnarray}$$
$\ c \le a,b \!\iff\! c\!+\!x \le a\!+\!x,b\!+\!x\!\iff\! c\!+\!x \le \lfloor a\!+\!x,b\!+\!x\rfloor\!\iff\! c \le \lfloor a\!+\!x,b\!+\!x\rfloor \!-\!x$
donde $\,\lfloor y,z\rfloor := \min(y,z).$
El siguiente resultado, a veces llamado lema de Bézout, se suele demostrar bastante pronto en un curso de teoría de números,
El lema de Bézout: Dejemos que $a$ y $b$ sean números enteros, no ambos $0$ . Entonces $\gcd(a,b)$ es el menor número entero positivo que puede expresarse en la forma $au+bv$ , donde $u$ y $v$ son números enteros.
Dejemos que $d=\gcd(a,b)$ y que $w=\gcd(ax,bx)$ . Supongamos que $x$ es positivo .
Por el lema de Bézout, $w$ es el menor número entero positivo que puede expresarse en la forma $w=(ax)u+(bx)v$ . De esta última ecuación, podemos ver que $x$ divide $w$ Así que $w=xk$ para algunos $k$ . De ello se desprende que $k=au+bv$ . Mostraremos $k=d$ .
Por el lema de Bézout, $d$ es el El más pequeño entero positivo que puede expresarse como una combinación lineal entera de $a$ y $b$ . Desde $k=au+bv$ concluimos que $d\le k$ .
Hay números enteros $s$ y $t$ tal que $as+bt=d$ . De ello se desprende que $(ax)s+(bx)t=xd$ . Desde $w=xk$ es el menor número entero que es una combinación lineal entera de $ax$ y $bx$ concluimos que $xk\le xd$ y por lo tanto $k \le d$ .
Hemos demostrado que $d \le k$ y $k\le d$ . Así, $k=d$ y por lo tanto $\gcd(ax,bx)=x\gcd(a,b)$ .
Su afirmación sólo es cierta para $x>0$ (algunas personas incluyen $0$ en $\mathbb{N}$ ).
He aquí una prueba utilizando la factorización de primos. Sea $$ A = \prod p_i^{a_i} \qquad \text{and} \qquad B = \prod p_i^{b_i} $$ donde los productos van sobre todos los primos $p_i$ dividiendo $A$ o $B$ , que ya han sido recogidos y fusionados. Podemos suponerlo debido a la teorema fundamental de la aritmética , que garantiza precisamente ese único factorización. Para demostrar que $$ \gcd\left(A,B\right)=\prod p_i^{\min(a_i,b_i)} $$ $$ \text{lcm}\left(A,B\right)=\prod p_i^{\max(a_i,b_i)} $$ (donde gcd es el el más grande divisor común), consideremos cada primo $p_i$ a su vez. Una vez más, utilizamos el hecho de que tanto el gcd como el lcm tienen una factorización única sobre los enteros, y que se componen de los mismos primos dividiendo $A$ y $B$ sólo que en cantidades diferentes. El máximo común divisor debe tener el mayor número de $p_i$ común a ambos $A$ y $B$ . Estos tienen $a_i$ y $b_i$ respectivamente. Por lo tanto el gcd debe tener el mayor exponente que sea común, es decir $\max~\{c|c\le a_i,b_i\}=\min(a_i,b_i)$ . Del mismo modo, el exponente del mínimo común múltiplo debe ser el menos entero que sea al menos tan grande como ambos: $\min~\{c|c\ge a_i,b_i\}=\max(a_i,b_i)$ .
Hay ciertos conjuntos de números, o sistemas numéricos, que no tienen una factorización única pero los números enteros (y los números naturales) sí, por la FTOA mencionada anteriormente.
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