Cómo resolver la desigualdad del valor absoluto: |x-1| ≥ 3-x

Question

Estoy aprendiendo el tema de la resolución de la pregunta de la desigualdad del valor absoluto. Había entendido en su mayor parte los pasos para resolver una desigualdad. Sin embargo, todavía no tengo ni idea de un paso para resolver la desigualdad de abajo: Que es: ¿Por qué $ 3-x \ge 0$ ? Me doy cuenta de que 3-x no está claramente dentro de un radical, por lo que no debería tener ese requisito. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Resuelve dos casos distintos.

Caso 1: $x \ge 1$ . Entonces resuelve $x-1 \ge 3-x$ para conseguir $x \ge 2$ .

Caso 2: $x < 1$ . Entonces resuelve $1-x \ge 3-x$ lo cual nunca es cierto.

Por lo tanto, la solución es $x \ge 2$ .

Answer 2

La cuadratura no es una transformación equivalente de una ecuación. Yo sólo distinguiría los dos casos:

Caso 1: $x\geq 1$

$x-1 \geq 3-x$

$2x \geq 4$

$x \geq 2$

Caso 2: $x <1 $

$-x+1 \geq 3-x$

$1 \geq 3$

Esto no es cierto, no hay solución para el caso 2.

Answer 3

El requisito $3-x \geq 0$ se equivoca. Quien escribió esta solución probablemente estaba pensando que $|x-1|$ es siempre no negativo, y $|x-1| \geq 3-x$ Así que $3-x$ es no negativo, pero ese razonamiento está revuelto.

(Si la desigualdad en el problema fuera en el otros dirección, es decir, si la pregunta original fuera $|x-1| \leq 3-x$ Entonces se podría razonar que $|x-1| \geq 0 \implies 3-x \geq 0$ pero eso sería un problema diferente).

De hecho, puedes tomar cualquier $x>3$ y ver que efectivamente es es una solución a la desigualdad. Por ejemplo, con $x=4$ tenemos $|4-1| \geq 3-4$ es decir $3 \geq -1$ Lo cual es obviamente cierto.

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Editado para añadir : Un mejor enfoque para resolver la desigualdad del valor absoluto es dividir el problema en dos casos.

• Caso 1: Si $x-1$ es no negativo, entonces $|x-1| = x-1$ y así tenemos la desigualdad compuesta $x \geq 1$ y $x-1 \geq 3-x$ . Resolver y encontrar $x \geq 2$ .
• Caso 2: Si $x-1$ es negativo, entonces $|x-1| = 1-x$ y así tenemos la desigualdad compuesta $x < 1$ y $1-x \geq 3-x$ . Resolver y encontrar esto no tiene soluciones.

Así que la solución es $x \geq 2$ , punto y aparte.

Answer 4

No hay ninguna razón para $3-x \geq 0$ . A menos que sea parte de la asignación. Ver http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx-1%7C+%3E%3D+3-x .