¿Por qué podemos ver los $z$ $\bar z$ como variables independientes en el análisis complejo?

Question

Estoy muy confundido acerca de cómo entender $\frac{\partial f}{\partial z}f(z,\bar z).$ $z$ $\bar z$ $f(z,\bar z)$ a actuar de la misma manera como $x$$y$$f(x,y)$?

Si es así, ¿cómo podemos demostrar esto?

Answer 1

Dado un subconjunto abierto $U\subset \mathbb C=\mathbb R^2$ $\mathcal C^\infty$- función de $f:U\to \mathbb C$, se define el
$$ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x} -i\frac{\partial f}{\partial y}\right) \in \mathcal C^\infty (U) \; \text {y} \frac{\partial f}{\partial \barra z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial y}\right)\in \mathcal C^\infty (U)$$Notice carefully that I wrote $\mathbb C=\mathbb R^2$, an equality not an isomorphism: one has the same set but the notation $\mathbb C$ means we have endowed $\mathbb R^2$ with with its well-known field structure. Consequently one also writes $z=x+iy=(x,y)$.

Esto es básicamente todo lo que hay para decir. Ningún misterio aquí: hemos definido dos operadores diferenciales $ \frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial f}{\partial \bar z} \in Der _{\mathbb C} (\mathcal C^\infty (U)) $.
Hay un análogo puntual versión $ \frac{\partial }{\partial z}\mid _{z_0}, \frac{\partial }{\partial \bar z}\mid _{z_0} \in Der _{\mathbb C} (\mathcal C^\infty _{z_0},\mathbb C) $ para las funciones definidas sólo en una vecindad de un punto fijo $z_o\in \mathbb C$
[$Der$ es sinónimo de derivación, una fantasía algebraization de la buena vieja regla de Leibniz para tomar la derivada de un producto]

Por ejemplo, tenemos la $\frac{\partial (x^2)}{\partial z}=x,\quad \frac{\partial (\sin xy +i e^ x)}{\partial \bar z}=\frac{1}{2}[y\cos xy+i(e^x+x\cos xy)]$

Como estoy seguro que usted sabe, una $\mathcal C^{\infty} $ función de $f$ es holomorphic iff $\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0 $ y que en caso de $f'(z)=\frac{\partial f}{\partial x}(z)$.
Por ejemplo, si $f(z)=z^2=x^2-y^2+2ixy$ $f'(z)=2z=2x+2iy=\frac{\partial (x^2-y^2+2ixy)}{\partial x}$

¿Y qué acerca de $\frac{\partial }{\partial z}f(z,\bar z)$ ? Olvidarse de que la notación : no tiene absolutamente ningún sentido si $z$ no es real, porque ya $f(z,\bar z)$ no es absolutamente definido !
[En realidad, hay contorsions que definen $f(z,\bar z)$ real-funciones analíticas como polinomios, pero son artificiales, ocultar la sencillez de la Wirtinger cálculo (que es el nombre de la persona que presentó los parciales $\frac{\partial }{\partial z}$$\frac{\partial }{\partial \bar z}$) y por lo tanto debe ser evitado]
Editar
En la misma vena, $z$ $\bar z$ no son del todo independientes. Muy por el contrario: $\bar z$ está totalmente determinado por $z $ !
Lo que la gente quiere decir cuando se utiliza la ridícula frase es, probablemente, que $\frac{\partial z}{\partial \bar z}=0$, pero luego se debe decir que y no introducir esta absurda la terminología de "variables independientes".
[Sólo he notado ahora que esta era tu pregunta! Lo siento por eso.]

Answer 2

Considere una función de $f:\mathbb C\rightarrow \mathbb C$, el uso de la identificación de $\mathbb C\simeq\mathbb R^2$ escribir $$ f(x+iy)=(u(x,y),v(x,y)), $$ y se supone que es diferenciable w.r.t a$x$$y$. Por definición, $$ \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} -i\frac{\partial}{\partial y}\right)\qquad \frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial}{\partial y}\right), $$ lo que significa que, si $z_0=x_0+iy_0$, $$ \frac{\partial}{\partial z}f(z_0)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}u(x_0,y_0)+\frac{\partial}{\partial y}v(x_0,y_0),\frac{\partial}{\partial x}v(x_0,y_0)-\frac{\partial}{\partial y}u(x_0,y_0)\right) $$ y $$ \frac{\partial}{\partial \barra z}f(z_0)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}u(x_0,y_0)-\frac{\partial}{\partial y}v(x_0,y_0),\frac{\partial}{\partial x}v(x_0,y_0)+\frac{\partial}{\partial y}u(x_0,y_0)\right). $$ A partir de esto, se puede comprobar que $$ \frac{\partial}{\partial z}\barra z=0,\qquad \frac{\partial}{\partial \barra z}z=0, $$ la que se muestra la "independencia" entre el $z$ $\bar z$ a ser similares a las que el uno entre el $x$ $y$ que usted estaba buscando.

Estos derivados son bastante conveniente para manipular, y tenga en cuenta que si $f$ es holomorphic, es decir, satisface la de Cauchy-Riemann ecuaciones $$ \frac{\partial}{\partial x}u(x_0,y_0)=\frac{\partial}{\partial y}v(x_0,y_0),\quad \frac{\partial}{\partial x}v(x_0,y_0)=-\frac{\partial}{\partial y}u(x_0,y_0), $$ entonces $$ \frac{\partial}{\partial z}f(z_0)=\left(\frac{\partial}{\partial x}u(x_0,y_0),\frac{\partial}{\partial y}v(x_0,y_0)\right)\qquad \frac{\partial}{\partial \barra z}f(z_0)=0. $$

Answer 3

Todo esto tiene perfecto sentido; sólo tienes que utilizar el derecho de las definiciones:

Deje $f: \mathbb{C}\simeq \mathbb{R}^2\to \mathbb{C}$ ser real, analítica, es decir, si usted piensa que esto es como se define en $\mathbb{R}^2$ tiene un poder de expansión de la serie en $(x,y)$ en cada punto en $\mathbb{R}^2$ (tenga en cuenta que este es más débil que ser holomorphic). A continuación, $f$ puede ser extendida a una holomorphic función de $D\to\mathbb{C}$ donde $D\subset \mathbb{C}^2$ es un barrio de $\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{C^2}$, así que usted puede escribir $f(x,y)$ donde $x,y$ ahora son complejos! Ahora considere el siguiente cambio de variables: $$(z,\bar z)=(x+iy,x-iy)$$ Aquí consideramos a $\bar z$ como un símbolo de que es independiente de $z$. Entonces tiene sentido escribir $f(z,\bar z)$; $\partial_z$, $\partial_{\bar z}$ son los Wirtinger derivados, y $\partial_{\bar z}f=0$ (es decir, $f$ es realmente independiente de $\bar z$) es equivalente a $f$ holomorphic.