Los términos "local" y "global" cuando se aplican a grandes axiomas cardinales parecen tener un significado intuitivo bien entendido, aunque una definición formalizada de ellos en (un metalenguaje para) ZFC podría ser bastante difícil de manejar. Dado un axioma cardinal grande, los teóricos del conjunto pueden clasificarlo inmediatamente como local o global. En términos generales, es local si no hay que "mirar" conjuntos de rango arbitrariamente alto en la jerarquía de la teoría de conjuntos para determinar si el axioma se cumple o no. A menudo me he preguntado si cualquier cardinal grande global puede ser alguna vez "más pequeño" que algún cardinal grande local. Nunca he visto una afirmación de que esto no sea posible. ¿Pero lo es? Para ser más específico: ¿Existe algún ejemplo de un axioma de cardinal grande local L, tal que una frase que afirme que el cardinal supercompacto más pequeño es más pequeño que el cardinal más pequeño que satisface L- no se sepa que es inconsistente con ZFC? Siempre suponemos, por supuesto, que la conjunción de ambos axiomas es válida.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No estoy de acuerdo en que sea difícil formalizar la distinción local/global y, de hecho, creo que existe un significado técnico ampliamente acordado para estas nociones.
Específicamente, una propiedad es localmente verificable si puede ser verificada dentro de cualquier segmento inicial de rango suficientemente grande $V_\theta$ del universo. Así que $\varphi(x)$ es una propiedad de este tipo si es equivalente a $\exists\theta\ V_\theta\models\psi(x)$ para alguna afirmación $\psi$ (de cualquier complejidad). Es un excelente ejercicio demostrar que las propiedades locales son precisamente las $\Sigma_2$ afirmaciones expresables. Para ser verdaderamente local, tanto la propiedad como su negación deberían ser localmente verificables, lo que haría que la propiedad $\Delta_2$ .
Actualización: He publicado más información sobre este tema en mi blog en Propiedades locales en la teoría de conjuntos incluyendo una prueba de la equivalencia que mencioné anteriormente.
Ejemplos de propiedades locales de grandes cardinales serían: inaccesible, Mahlo, débilmente compacto, Ramsey, medible, Woodin, superfuerte, casi enorme, enorme, rank-into-rank y muchas otras. En particular, algunas propiedades locales de gran cardinal son extremadamente altas en la jerarquía de gran cardinal.
Las propiedades globales, en cambio, no son verificables dentro de ningún $V_\theta$ y la mayoría de las propiedades cardinales globales comúnmente consideradas tienen complejidad $\Pi_2$ o $\Pi_3$ . Por ejemplo, $\kappa$ es supercompacto si y sólo si para cada $\lambda$ es $\lambda$ -supercompacto. Para cualquier $\lambda$ La afirmación de que $\kappa$ es $\lambda$ -supercompacto es local, ya que se puede verificar dentro de $V_{\lambda+3}$ más o menos, y así es $\Sigma_2$ . El cuantificador universal delante parecería hacer de la supercompacidad un $\Pi_3$ propiedad, pero en realidad es $\Pi_2$ ya que el fracaso de la supercompacidad de $\kappa$ es localmente verificable, ya que $\kappa$ no es supercompacto sólo en caso de que esto sea cierto dentro de algún $V_\theta$ (gracias a Kostas por su comentario en mi blog sobre esto, y dice que se menciona también en el capítulo 5 de Kanamori después del ejercicio 22.8). Otras propiedades cardinales grandes globales son: ascendente, fuertemente ascendente, desplegable, fuertemente desplegable, alta, fuerte, fuertemente compacta, supercompacta y muchas otras.
Algunas de las propiedades globales ocurren muy abajo en la gran jerarquía cardinal. Por ejemplo, los cardinales ascendentes son más débiles que Mahlo en cuanto a fuerza de consistencia, pero no son propiedades locales. Así que hay numerosos casos en los que una propiedad global tiene una fuerza de consistencia más débil que una propiedad local.
Sin embargo, todo cardenal supercompacto (y todo cardenal fuerte) es $\Sigma_2$ -reflejando y, por tanto, si hay algún cardinal grande de tipo L por encima de $\kappa$ entonces tendría que haber muchos por debajo $\kappa$ . Por lo tanto, el menor cardinal supercompacto nunca puede ser menor que el menor $L$ -cardinal, si $L$ es una propiedad local.
Basándome en el comentario de Monroe, he ampliado mi comentario en una respuesta:
A muy compacto cardenal es un $\kappa$ de manera que cada $\kappa$ -Filtro completo $F$ en $\kappa$ puede ampliarse a un $\kappa$ -Completo ultrafiltro. (Nótese que esto implica trivialmente que $\kappa$ es medible: tome $F=\{\kappa\}$ .)
Me parece que esto es una propiedad local. Por supuesto, los ultrafiltros están estrechamente relacionados con las incrustaciones elementales, que son objetos globales; pero para mí, al menos, la compacidad fuerte es tan local como la mensurabilidad.
A Cardenal de madera es un $\lambda$ tal que para cada $f:\lambda\rightarrow\lambda$ , hay $\gamma<\lambda$ tal que $f"\gamma\subseteq\gamma$ y una incrustación elemental $j: V\rightarrow M$ con punto crítico $\gamma$ , satisfaciendo $$ V_{j(f)(\gamma)}\subseteq M.$$ Aunque esto cuantifica sobre sólo elementos de $\lambda^\lambda$ de entrada, la incrustación elemental hace que esto me parezca global. (Aunque no me sorprendería demasiado que hubiera una forma "local" de expresar la Woodin-ness). EDIT: La respuesta de Joel implica que la Woodin-ness es realmente una propiedad local, por lo que esta respuesta es de dudoso valor.
En 1976, Magidor publicó "¿Cuán grande es el primer cardenal fuertemente compacto? o Un estudio sobre las crisis de identidad" ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0003484376900243 ), en el que -entre otras cosas- demostró:
Consecuentemente con un supercompacto, el menos fuertemente compacto es el menos supercompacto.
Sin embargo, como todo supercompacto es un límite de Woodins, esto da que el menos fuertemente compacto está por encima del menos Woodin.
