Teorema: Dejemos que $u\in C^2(\mathbb{R}\times[0,\infty))$ sea una solución del problema $$u_{tt}-u_{xx}=0\text{ in }\mathbb{R}\times[0,\infty).$$ Dado $x_0\in\mathbb{R}$ y $t_0>0$ considere el cono $$C_{x_0,t_0}=\{(x,t)\in\mathbb{R}\times[0,t_0];\;0\leq t\leq t_0,\,|x-x_0|\leq t_0-t\}.$$ Si $u(x,0)=u_t(x,0)=0$ para todos $x\in(x_0-t_0,x_0 t_0)$ entonces $u=0$ en $C$ .
El problema: dejar $u\in C^2(\mathbb{R}\times[0,\infty))$ sea una solución del problema $$\left\{\begin{matrix} u_{tt}-u_{xx}=0 &\text{in}&\mathbb{R}\times(0,\infty) \\ u=g,\,u_t=h &\text{on}&\mathbb{R}\times\{0\} \end{matrix}\right.$$ donde $h,g$ tienen un soporte compacto en $\mathbb{R}$ . Demuestre que, para cada $t>0$ la función $u(\cdot,t)$ tiene un soporte compacto en $\mathbb{R}$ .
Pista: teorema anterior.
Mi enfoque (no exitoso): basta con demostrar que existe un conjunto acotado $K\subset\mathbb{R}$ tal que $u(x,t)=0$ para todos $(x,t)\in(\mathbb{R}\backslash K)\times(0,\infty)$ . Sabemos que existe un conjunto acotado $K$ tal que $$\text{supp}(g)\cup\text{supp}(h)\subset K.$$
Dado $(y,s)\in(\mathbb{R}\backslash K)\times(0,\infty)$ Hay dos casos: $s<d(K,y)$ o $s\geq d(K,y)$ . En el primer caso podemos considerar el cono $C_{y,s}$ y concluir (por el teorema anterior) que $u(y,s)=0$ (porque $u(y,0)=g(y)=0=h(y)=u_t(y,0)$ para todos $y\in\mathbb{R}\backslash K\supset(y-s,y+s)$ ). Este argumento no funciona para el segundo caso. Por lo tanto, necesito ayuda.
Gracias.
