Los cofactores coprimos de las n's potencias son n's potencias, hasta los asociados, para los enteros gaussianos & UFD

Question

Estoy tratando de hacer el siguiente ejercicio de la Teoría Algebraica de Números de Neukirch (ejercicio 2, $\S 1$ (capítulo 1):

Demuestra que, en el ring $\mathbb{Z}[i]$ la relación $\alpha\beta=\varepsilon\gamma^n$ , para $\alpha,\beta$ números relativamente primos y $\varepsilon$ una unidad, implica $\alpha=\varepsilon^{\prime}\xi^n$ y $\beta=\varepsilon^{\prime\prime}\eta^n$ con $\varepsilon^{\prime},\varepsilon^{\prime\prime}$ unidades.

Mi intento: una vez $\alpha$ y $\beta$ son relativamente primos, $\alpha\nmid\beta$ y $\beta\nmid\alpha$ . Por lo tanto, $N(\alpha)$ y $N(\beta)$ son relativamente primos también (donde $N(a+ib)=a^2+b^2$ ). Por lo tanto, $$N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)=N(\varepsilon)N(\gamma^n)=N(\gamma)^n=(p_1\cdot\ldots\cdot p_r)^n=p_1^n\cdot\ldots\cdot p_r^n$$

Y una vez $N(\alpha)$ y $N(\beta)$ son relativamente primos, tenemos (si es necesario, reordenamos los $p_i$ 's):

$$N(\alpha)=p_1^n\cdot\ldots\cdot p_k^n=(p_1\cdot\ldots\cdot p_k)^n=N(\xi)^n=N(\xi^n)$$ y $$N(\beta)=p_{k+1}^n\cdot\ldots\cdot p_r^n=(p_{k+1}\cdot\ldots\cdot p_r)^n=N(\eta)^n=N(\eta^n)$$

Y el resultado es el siguiente.

Pero no estoy seguro de un paso. Es $\alpha$ y $\beta$ relativamente primera $\Rightarrow$ $N(\alpha)$ y $N(\beta)$ relativamente primo. Sé que si $\alpha|\beta$ entonces $N(\alpha)|N(\beta)$ Pero la afirmación anterior no es necesariamente cierta, y si lo es, no sé cómo demostrarlo. Si es cierto, el resultado se deduce, a menos que haya hecho algo mal en el resto de la prueba.

Eso es todo. Si conoces otra forma de hacer el ejercicio, por favor enséñamela.

Answer 1

La prueba para los naturales (o enteros) a través de la factorización de primos se generaliza inmediatamente a cualquier UFD, pero tenemos que tener en cuenta los factores unitarios (invertibles), por lo que trabajamos hasta los asociados (múltiplos unitarios). [Lectores de ENT: en $R = \Bbb Z,\,$ $\,u\,$ es la unidad $\!\iff\! u=\pm1,\,$ así que $\,m,n\,$ son asociados $\!\iff\! m = \pm n$ ]

Teorema $\ $ Si $R\,$ es un UFD y coprima $\,a,b\in R\,$ satisfacer $\,ab=c^n$ para algunos $\,0\ne c\in R,\ n \ge 1,\,$ entonces $\,a=u\,r^n$ y $\,b=u^{-1}s^n$ para algunos $\,r,s\in R\,$ y para alguna unidad (es decir, invertible) $u\in R.\,$ Por lo tanto, ambos factores $\,a\,$ y $\,b\,$ son - como $\,c^n$ - asociados de $\,n$ 'th poderes en $R$ .

Prueba $\ $ Introducimos en $\,k =\,$ número de factores primos de $\,c.\,$ Si $\,k=0\,$ entonces $\,c\,$ es una unidad, por lo que $\,a,b\,$ son unidades, por lo que $\,a = a\cdot 1^n,\ b = a^{-1}c^n$ obras. Si no $\,k\ge 1,\,$ por lo que un primo $\,p\mid c,\,$ así que $\,p^n\mid c^n\! = ab\,$ por lo que $\,p^n\mid a\ {\rm or}\ b\,$ por $\,a,b$ coprime, $R\,$ UFD. Wlog $\,p^n\!\mid b\,$ por lo que cancelar $\,p^n$ obtenemos $\,a(b/p^n) = (c/p)^n.\,$ $\,c/p\,$ tiene menos factores primos que $c\,$ por lo que la inducción $\Rightarrow a = ur^n,\ b/p^n\! = u^{-1} s^n,\,$ así que $\,b = u^{-1}(ps)^n$ .

Nota: $\ $ Para las generalizaciones, ver aquí para una prueba con gcds (o ideales), y ver aquí para las observaciones de Weil sobre la relación con el método de Fermat de descenso infinito .

Answer 2

Supongamos por ahora que $\gamma$ es un entero gaussiano no nulo y no unitario ( $\gamma=0$ es trivial y estaría repitiendo el comentario anterior para cuando $\gamma$ es una unidad). Dado que $\mathbb{Z}[i]$ es un UFD, $\epsilon\gamma=\epsilon\prod_{i}p_i^{a_i}$ . Por lo tanto, $\alpha\beta=\epsilon^n\prod_{i}p_i^{na_i}$ . Ahora reordenamos los primos (no comparten factores comunes hasta las unidades por lo que estamos seguros de hacer esto ya que ninguno de los primos en los productos chocan. Espero que tenga sentido, pero básicamente podemos hacerlo porque son coprimos) y utilizamos el hecho de que cualquier unidad $^n$ sigue siendo una unidad en los enteros de Gauss para obtener las siguientes factorizaciones únicas: $$\alpha=\epsilon'\prod_j p_j^{na_j}=\epsilon'\left(\prod_j p_j^{a_j}\right)^n=\epsilon'\xi^n$$ y $$\beta=\epsilon''\prod_k p_k^{na_k}=\epsilon''\left(\prod_k p_k^{a_k}\right)^n=\epsilon''\zeta^n$$