Estoy tratando de hacer el siguiente ejercicio de la Teoría Algebraica de Números de Neukirch (ejercicio 2, $\S 1$ (capítulo 1):
Demuestra que, en el ring $\mathbb{Z}[i]$ la relación $\alpha\beta=\varepsilon\gamma^n$ , para $\alpha,\beta$ números relativamente primos y $\varepsilon$ una unidad, implica $\alpha=\varepsilon^{\prime}\xi^n$ y $\beta=\varepsilon^{\prime\prime}\eta^n$ con $\varepsilon^{\prime},\varepsilon^{\prime\prime}$ unidades.
Mi intento: una vez $\alpha$ y $\beta$ son relativamente primos, $\alpha\nmid\beta$ y $\beta\nmid\alpha$ . Por lo tanto, $N(\alpha)$ y $N(\beta)$ son relativamente primos también (donde $N(a+ib)=a^2+b^2$ ). Por lo tanto, $$N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)=N(\varepsilon)N(\gamma^n)=N(\gamma)^n=(p_1\cdot\ldots\cdot p_r)^n=p_1^n\cdot\ldots\cdot p_r^n$$
Y una vez $N(\alpha)$ y $N(\beta)$ son relativamente primos, tenemos (si es necesario, reordenamos los $p_i$ 's):
$$N(\alpha)=p_1^n\cdot\ldots\cdot p_k^n=(p_1\cdot\ldots\cdot p_k)^n=N(\xi)^n=N(\xi^n)$$ y $$N(\beta)=p_{k+1}^n\cdot\ldots\cdot p_r^n=(p_{k+1}\cdot\ldots\cdot p_r)^n=N(\eta)^n=N(\eta^n)$$
Y el resultado es el siguiente.
Pero no estoy seguro de un paso. Es $\alpha$ y $\beta$ relativamente primera $\Rightarrow$ $N(\alpha)$ y $N(\beta)$ relativamente primo. Sé que si $\alpha|\beta$ entonces $N(\alpha)|N(\beta)$ Pero la afirmación anterior no es necesariamente cierta, y si lo es, no sé cómo demostrarlo. Si es cierto, el resultado se deduce, a menos que haya hecho algo mal en el resto de la prueba.
Eso es todo. Si conoces otra forma de hacer el ejercicio, por favor enséñamela.
