¿Cohomología de bajo grado del espacio K(G,2) de Eilenberg-MacLane?

Question

Recordemos que un espacio de Eilenberg-Maclane $K(G, n)$ se caracteriza por $\pi_i(K(G,n)) = G$ si $i=n$ y es trivial en caso contrario. (Por supuesto $G$ debe ser abeliano si $n>1$ .)

Soy consciente de que la informática $H^j(K(G,n), \mathbb Z)$ en general $j$ y $n$ no es tan fácil (véase, por ejemplo aquí ), pero espero que para ciertos valores pequeños de $j$ y $n$ es más fácil.

Mi pregunta: ¿Existe una buena referencia para $H^j(K(G,2), \mathbb Z)$ , donde $j \le 4$ y $G$ ¿es abeliano finito (o sólo cíclico)?

Answer 1

Para un grupo cíclico finito G, en el rango que pides obtienes grupos de cohomología $$\mathbb{Z}, 0, 0, G \cong Ext(G, \mathbb{Z}), 0.$$ Esto se ve, por ejemplo, calculando la secuencia espectral de Leray--Serre para $$K(G, 1) \to * \to K(G,2).$$