¿Cuántas soluciones hay para la ecuación $x + y + z + w = 17$ ?

Question

¿Cuántas soluciones hay para la ecuación $x + y + z + w = 17$ para números enteros no negativos $w, x, y, z$ ?

No sé si lo estoy haciendo bien, pero supuse que la solución sería $\binom{20}{3}$ que es igual a $1140$ . ¿Lo estoy haciendo bien?

Answer 1

Alineación $20$ bolos en una fila:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Derriba a cualquiera de los tres:

+ + + x + + + + + + x x + + + + + + + +

Ahora dejemos que $x,y,z,$ y $w$ es el número de bolos que quedan en pie entre los bolos derribados. En este caso $x=3, y=6, z=0,$ y $w=8$ .

Así que su respuesta es correcta.

Answer 2

Su resultado es correcto. Estás buscando el número de monomios de grado total $17$ en $4$ variables. Hay $$\binom{17+4-1}{17}=\binom{20}{17}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2} = 20\cdot19\cdot3 = 1140$$ de estos.

Una prueba sería la siguiente. Asociamos a cualquier solución $(x,y,z,w)$ una secuencia débilmente creciente de longitud $17$ , donde $0$ aparece $x$ tiempos, $1$ aparece $y$ tiempos, etc. Por ejemplo, la solución $(4,3,2,8)$ correspondería a $$(0,0,0,0,1,1,1,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3)$$ Añadiendo $i$ a la $i$ -ésima componente de esa secuencia, se vuelve estrictamente creciente. De este modo, podemos ver que las soluciones corresponden a subconjuntos de $\{1,\ldots,17+4-1\}$ de cardinalidad $17$ . Por supuesto, puede sustituir $17$ y $4$ por $n$ y $d$ para obtener una declaración más general.