Tuve que pensar un rato para entender Scott respuesta (o al menos, lo que sospecho que quiso decir con su respuesta), y al final no fueron suficientes detalles para ordenar que pensé que eran vale la pena publicar. Terminó siendo demasiado largo publicar un comentario, así que aquí está como separada de respuestas. A menos que sea una tontería, por supuesto....
Vamos a {$x_{\alpha}$} ser una trascendencia base de $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$, y deje $L$ ser el intermedio de campo que se genera, por lo que el $\mathbb{C}$ es la clausura algebraica de $L$$\mathbb{C}$. Tomar también una colección de abrir los discos de $D_{\alpha}$ $\mathbb{C}$ de manera tal que cualquier colección de puntos de $y_{\alpha} \in D_{\alpha}$ es denso en $\mathbb{C}$ en la topología usual. Ahora, para cada una de las $\alpha$, tome $x_\alpha$ y se multiplica por la raíz de la unidad y un número racional, de modo que el resultado $y_\alpha$ se encuentra en $D_\alpha$. La colección {$y_{\alpha}$} es todavía algebraicamente independiente sobre $\mathbb{Q}$, debido a una dependencia da una expresión algebraica de la dependencia de {$x_\alpha$} sobre algunos finito extensión de $\mathbb{Q}$, lo que implica la existencia de una expresión algebraica dependencia en $\mathbb{Q}$.
De modo que existe $\sigma : L \to \mathbb{C}$ envío de $x_{\alpha} \mapsto y_{\alpha}$. Ahora por la costumbre hecho de que el campo de incrustaciones en algebraicamente cerrado campos puede ser extendido a través de extensiones algebraicas, $\sigma$ se extiende a un mapa de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Pero tenga en cuenta que por la construcción de $\sigma$ es surjective! La imagen contiene cada una de las $y_\alpha$, y contiene todas las raíces de la unidad, de manera que contiene todas las $x_\alpha$'s; por lo tanto la imagen es una expresión algebraica de cierre de $L$$\mathbb{C}$, por lo tanto todos los de $\mathbb{C}$.
En particular, $\mathbb{C}$ es una ecuación cuadrática de la extensión de $\sigma(\mathbb{R})$, obtenido por contigua $\sigma(i)$. Pero, finalmente, $\sigma(\mathbb{R})$ es denso en $\mathbb{C}$ desde su imagen contiene todos los $y_\alpha$'s, y así dar a $\sigma(\mathbb{R})$ la norma inducida a partir de la norma habitual en $\mathbb{C}$, obtenemos una normativa campo $\sigma(\mathbb{R})$ cuya cumplimentación es exactamente $\mathbb{C}$, es decir, una ecuación cuadrática de la extensión de la misma. Por lo tanto la respuesta a tu segunda pregunta, en realidad sí.
