Como se ha dicho, el teorema es falso. Lo que falta es que la isometría completa mapee $A$ a $B$ y ser unital. Para un ejemplo fácil en el que el teorema falla como se ha dicho, tomemos $$ A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\ \ \ B=\begin{bmatrix} 1&1\\0&1\end{bmatrix} $$ (generan el mismo espacio de operadores unital, pero obviamente no son unitariamente equivalentes).
Incluso en ese caso, la implicación no trivial ( $\Leftarrow$ ) no es en absoluto sencillo. He aquí un esbozo de argumento.
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Una isometría completa unital entre los espacios de operadores $\text{span}\,\{I,A\}$ y $\text{span}\,\{I,B\}$ puede extenderse de forma única a un mapa ucp $\phi$ entre los sistemas del operador $\text{span}\,\{I,A, A^*\}$ y $\text{span}\,\{I,B,B^*\}$ con ucp inversa (es decir, a isomorfismo de orden completo ).
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Desde $C^*(I,A)=I+K(H)$ (porque $A$ es irreducible), por el Teorema del Límite de Arveson el mapa de identidad $C^*(I,A)\to C^*(I,A)$ es una representación de frontera, y de forma similar para $B$ .
- El hecho de que la identidad sea una representación de frontera es suficiente para garantizar que $C^*(I,A)$ y $C^*(I,B)$ son el C $^*$ -sobres de $\text{span}\,\{I,A,A^*\}$ y $\text{span}\,\{I,B, B^*\}$ respectivamente.
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El teorema de Choquet de Arveson garantiza entonces que $\phi$ se extiende a un C $^*$ -isomorfismo entre $C^*(I,A)$ y $C^*(I,B)$ . Como estos son irreducibles y contienen operadores compactos, se puede demostrar que el isomorfismo se realiza por conjugación unitaria.
Hay una prueba bastante completa en este documento por Doug Farenick (no estoy seguro de que este preprint esté tan actualizado como la versión publicada en LAA).
