función inversa generalizada

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R} \rightarrow [0, 1]$ sea creciente ( editar (es decir, no decreciente).

Definir $f^-(y) = \inf \{x \in \mathbb{R} : f(x) \geq y \}$ , $y \in [0, 1]$ .

¿Es cierta la siguiente línea?

$$x \leq f^-(y) \quad\leftrightarrow\quad f(x) \leq y$$

Answer 1

La definición no tiene sentido para $y$ menor o igual que el infimo de la imagen de $f$ (por ejemplo, $0$ ). A menos que permita $-\infty$ .

Incluso cuando se define, lo que has dicho no es cierto (de hecho, equivale a decir que $f$ es estrictamente creciente).

Elija $f(x)=1$ para $x\geq 0$ y $f(x)=e^{x}$ para $x<0$ . Entonces $f^-(1)=0$ y $1>0$ pero $f(1)=1\leq 1$ Así que $\leftarrow$ falla. (Pero $\rightarrow$ es, por supuesto, cierto).