¿Está determinada una topología por sus secuencias convergentes?

Question

Sólo una pregunta básica sobre topología de conjuntos de puntos: está claro que podemos detectar diferencias en las topologías utilizando secuencias convergentes, pero ¿hay algún ejemplo de dos topologías distintas en el mismo conjunto que tengan las mismas secuencias convergentes?

Answer 1

La topología cocontable sobre un conjunto incontable es indistinguible de la topología discreta si sólo se pueden utilizar secuencias.

Answer 2

Un ejemplo más. Consideremos el espacio de Banach $\ell^{1}\left(\Gamma\right)$ , $\Gamma$ siendo un conjunto infinito. Entonces la topología débil y la topología normal tienen las mismas secuencias convergentes (Teorema de Schur), mientras que son claramente distintas.

Answer 3

En un espacio métrico (o metrizable), la topología está totalmente determinada por la convergencia de las secuencias. Esto no se cumple en un espacio topológico arbitrario, y Mariano ha dado el contraejemplo canónico. Este es el comienzo de teorías más penetrantes de la convergencia dadas por redes y/o filtros . Para más información al respecto, véase, por ejemplo

http://math.uga.edu/~pete/convergence.pdf

En particular, la sección 2 está dedicada al tema de las secuencias en espacios topológicos y da alguna información sobre cuándo las secuencias son "topológicamente suficientes".

En particular, una topología es determinado especificando qué redes convergen a qué puntos. Esto surgió como una pregunta anterior de MO . No se trata en las notas anteriores, pero está bien tratado en la obra de Kelley Topología general .

Answer 4

Existe una categoría de "espacios secuenciales" en la que los objetos son espacios definidos por sus secuencias convergentes y los morfismos son aquellos mapas que envían secuencias convergentes a secuencias convergentes.

Como ya se ha dicho, todos los espacios métricos son espacios secuenciales, pero también lo son todos los colectores, todos los espacios topológicos finitos y todos los complejos CW.

Para construir esta categoría, en realidad sólo hay que ver la categoría de derecho $M$ -para un determinado monoide $M$ . Consideremos primero el "espacio de la secuencia convergente" $S:=$ { $\frac{1}{n}|n\in{\mathbb N}\cup$ { $\infty$ }} $\subset {\mathbb R}$ . En otras palabras $S$ es un conjunto contable de puntos que convergen a 0, e incluye $0$ . Sea $M$ sea el monoide de mapas continuos $S\to S$ con la composición. Entonces un $M$ -es un "conjunto de secuencias convergentes" cerrado bajo la toma de sucesiones.

La categoría de $M$ -sets es un topos, por lo que tiene límites, colímites, espacios de funciones, etc. Y cada $M$ -tiene una realización topológica que es un espacio secuencial.

Answer 5

En el espacio $[0,\omega_1]$ con la topología de orden el punto $\omega_1\in\overline{[0,\omega_1)}$ pero para toda secuencia convergente $(x_n)_{n\in\Bbb N}\subset[0,\omega_1)$ , $$\lim_{n\to\infty}x_n<\omega_1.$$