Estado de la conjetura de Grothendieck sobre homomorfismos de esquemas abelianos

Question

En [1] Grothendieck plantea lo siguiente:

Conjetura . Sea $S$ sea un esquema conexo reducido, localmente de tipo finito sobre Spec( $\mathbf{Z}$ ) o un campo $k$ , $A$ y $B$ dos esquemas abelianos sobre $S$ , $l$ un número primo, $u_l: T_l(A) \rightarrow T_l(B)$ un homomorfismo, y supongamos que existe un punto $s\in S$ tal que $u_{ls}$ proviene de un homormofismo $u_s: A_s \rightarrow B_s$ de esquemas abelianos sobre $k(s)$ . Entonces existe un número entero $n>0$ y un homomorfismo $v: A \rightarrow B$ tal que $T_l(v)=n u_l$ .

A continuación, Grothendieck señala que la conjetura se deriva de las conjeturas de Tate sobre los ciclos algebraicos. Luego procede a dar una prueba, utilizando el teorema de Serre-Tate, para el caso de un campo base de característica cero para el que la afirmación se mantiene con $n=1$ .

Pregunta: ¿Cuál es la situación actual de esta conjetura? Si no se ha resuelto, ¿hay algún resultado parcial para el caso de la característica positiva?

Esto es lo que he visto en la literatura hasta ahora, todas las características cero:

Deligne, en el segundo de sus tres trabajos sobre la teoría de Hodge, demuestra resultados sobre homomorfismos de esquemas abelianos sobre esquemas $S$ de tipo finito sobre $\mathbf{C}$ . Por ejemplo:

Proposición (Deligne 4.4.12 [2]) : Dejemos que $f: X \rightarrow S$ sea un esquema abeliano sobre un esquema suave $S$ . Las siguientes condiciones son equivalentes:

$(i)$ Para todo esquema abeliano $g: Y \rightarrow S$ tenemos $$ \mathrm{Hom}_S(X,Y) \cong \mathrm{Hom}_S(R_1 f_* \mathbf{Z}, R_1 g_* \mathbf{Z} ) $$

$(ii)$ La condición $(i)$ se verifica para $X=Y$ y el centro $Z$ de $\mathrm{End}_S(X)\otimes \mathbf{Q}$ no admite un lugar complejo $\rho: Z \rightarrow \mathbf{C}$ tal que el factor directo $R_1 f_*\mathbf{Q} \otimes_{Z,\rho} \mathbf{C}$ de $R_1 f_* \mathbf{C}$ es de tipo Hodge puro (-1,0).

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En una línea similar, S.G. Tankeev en un trabajo de 1976 [3] demuestra que si $S$ es una curva suave conectada sobre $\mathbf{C}$ y $\pi_i: X_i \rightarrow S, i=1,2$ son dos esquemas abelianos, entonces bajo algunas condiciones naturales, el homomorfismo canónico $$ \mathrm{Hom}_S(X_1,X_2) \rightarrow \mathrm{Hom}(R_1 \pi_{1*} \mathbf{Z}, R_1 \pi_{2*} \mathbf{Z})$$ es un isomorfismo. En un artículo del año siguiente [4] Tankeev demuestra una variante del módulo de Tate de lo anterior, de la forma $$ \mathrm{Hom}_k(I_1,I_2)\otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_l \cong \mathrm{Hom}_G(T_l(I_1), T_l(I_2)),$$ donde $G=\mathrm{Gal}(\overline{k}/k)$ y $I_1, I_2$ son variedades abelianas sobre $k(t)$ cuyos modelos de Néron admiten compactificaciones con ciertas propiedades.

¿Hay otros resultados conocidos en la misma línea? Me gustaría saber especialmente sobre la característica $p$ caso, así como cualquier resultado que extienda realmente un homomorfismo de variantes abelianas sobre un punto de S a mapas de esquemas abelianos sobre S, como en la conjetura.

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[1] A. Grothendieck Un teorema sobre los homomorfismos de los esquemas abelianos Inventar. Matemáticas. 2 59-78 (1966)

[2] P. Deligne Théorie de Hodge: II Publications mathématiques de l'I.H.E.S, tomo 40 (1971) p.5-57

[3] S.G. Tankeev Sobre los homomorfismos de los esquemas abelianos Matemáticas. USSR Izvestija Vol. 10 (1976), No. 4

[4] S.G. Tankeev Sobre homomorfismos de esquemas abelianos II Matemáticas. USSR Izvestija Vol. 11 (1977), No. 6

Answer 1

Esto es una ampliación de mis comentarios. La conjetura de Grothendieck es ahora un teorema, excepto quizás cuando $S$ está en la característica $p$ y $\ell=p$ . La explicación que sigue es presumiblemente lo que Grothendieck tenía en mente en su comentario sobre la conjetura de Tate.

En primer lugar, hacemos algunas reducciones: Ciertamente, podemos suponer que $S$ es integral. De hecho, podemos suponer que $S$ es normal. Esto se deduce de la Proposición 1.2 del artículo de Grothendieck.

Por último, podemos suponer que el punto genérico $\eta$ de $S$ es el espectro de un campo generado finitamente. Esto se puede demostrar como en 2.2 del artículo de Grothendieck.

En este escenario, por la Proposición 2.7 de Chai-Faltings, 'Degeneración de variedades abelianas', el mapa de restricción natural $Hom(A,B)\to Hom(A_{\eta},B_{\eta})$ es una biyección. Supongamos ahora que $\eta$ es el espectro de un campo generado finitamente. Entonces, por la conjetura de Tate para homomorfismos de variedades abelianas sobre campos generados finitamente (demostrada por Zarhin en característica finita, y Faltings en característica $0$ ), el mapa natural de $\mathbb{Z}_{\ell}$ -módulos: $$Hom(A,B)\otimes\mathbb{Z}_{\ell}\to Hom_G(T_{\ell}(A_{\eta}),T_{\ell}(B_{\eta}))$$ es un isomorfismo. Aquí, en el lado derecho, $G$ es el grupo de Galois absoluto del espectro de $\eta$ . En particular, $u_{\ell}$ da lugar a un elemento de $Hom(A,B)\otimes\mathbb{Z}_{\ell}$ .

Ahora, supongamos que la especialización de $u_{\ell}:T_{\ell}(A)\to T_{\ell}(B)$ sobre un punto $s\in S$ surge de un homomorfismo honesto $u_s:A_s\to B_s$ . Entonces encontramos que, para algunos $n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$ , $nu_{\ell}$ surge de un homomorfismo $u':A\to B$ . Básicamente, el mapa $$Hom(A,B)_{\mathbb{Q}}\to Hom(A_s,B_s)_{\mathbb{Q}}$$ identifica el lado izquierdo con un subespacio vectorial del lado derecho. De hecho, si $S$ es de la característica $p$ podemos tomar $n$ para ser un poder de $p$ ya que el mapa de especialización tendrá la imagen saturada después de invertir $p$ .