¿Las pruebas de categoricidad de segundo orden requieren un concepto previo de conjunto?

Question

En su artículo "El multiverso teórico de conjuntos" Joel David Hamkins (como parte de su respuesta al argumento de Donald Martin de que el universo teórico de conjuntos es único, que se encuentra en "Universos múltiples de conjuntos y valores de verdad indeterminados" ) afirma que "...un argumento de categoricidad de segundo orden, incluso sólo para los números naturales, requiere que uno opere en un contexto con un concepto de conjunto de fondo". (p. 14 en la edición arXiv enlazada)

Esto me llevó a preguntarme, ¿es esto estrictamente necesario, o simplemente se asume un contexto teórico de conjuntos para las pruebas de categoricidad como parte de la dialéctica? Ciertamente, reconozco que hay una noción de categoricidad que parece íntimamente conectada con su teoría de conjuntos de fondo, ya que las pruebas se llevan a cabo dentro de esa teoría de conjuntos de fondo y ya que la semántica estándar para la lógica de segundo orden es una semántica teórica de conjuntos.

Pero existen semánticas alternativas para la lógica de segundo orden (por ejemplo la interpretación de la cuantificación plural de la lógica monádica de segundo orden propuesta por George Boolos ) y aunque puede darse el caso de que ninguna de ellas sea tan buena como la semántica estándar -por ejemplo, está el problema que dan las relaciones a los lógicos plurales-, parece que esto podría abrir la puerta a presentaciones de la lógica de segundo orden que no dependen de una teoría de conjuntos de fondo.

¿Se trata de que el concepto de "modelo" utilizado en las afirmaciones de categoricidad es el de un modelo teórico de conjuntos? Si tuviéramos un concepto alternativo de modelo, uno no ligado a la teoría de conjuntos, ¿se seguiría presuponiendo un concepto de conjunto de fondo en las pruebas de categoricidad? ¿Existen ejemplos de supuestas pruebas de categoricidad que no ¿operan en un contexto de fondo teórico de conjuntos?

Con el fin de aislar un Tomemos como pregunta principal la siguiente: ¿en qué sentido las pruebas de categoricidad requieren que uno opere con un concepto de conjunto de fondo y en qué sentido la categoricidad es independiente de la teoría de conjuntos?

Answer 1

Me alegro de que lea mi artículo, y su pregunta es interesante. (Acabo de darme cuenta de tu pregunta ahora).

Mi comentario sobre las pruebas de categoricidad que requieren la teoría de conjuntos se aplica igualmente si se emprende el argumento de categoricidad en la lógica de segundo orden, que considero un sabor de la teoría de conjuntos débil, o en la lógica plural, que tiene una naturaleza esencial de teoría de conjuntos. El punto principal que planteo en mi comentario es que parece inútil basar nuestra confianza en la definición del concepto de lo finito apelando al ámbito de la teoría de conjuntos (ya sea a través de una teoría de conjuntos completa o a través de la lógica de segundo orden o de los plurales), ya que parecería que tenemos aún menos confianza en la naturaleza definida de ese ámbito. En otras palabras, ¿cómo podemos basar nuestra confianza en el caso fácil en nuestro conocimiento sobre algo mucho más turbio? (Véase también este ensayo informal sobre ello).

Pero para responder a tu pregunta matemática del final: sí, la categoricidad puede depender del fondo teórico de los conjuntos. Una forma fácil de ver esto es el hecho básico de que diferentes modelos de la teoría de conjuntos pueden tener diferentes números naturales no isomorfos $\mathbb{N}$ Aunque cada uno de estos modelos cree que su versión de $\mathbb{N}$ se caracteriza por los axiomas de Peano de segundo orden. En un reciente trabajo conjunto de Ruizhi Yang y yo, La satisfacción no es absoluta En este sentido, ofrecemos varios ejemplos más llamativos. A saber, puede haber diferentes modelos de teoría de conjuntos $M_1$ y $M_2$ que coinciden en sus estructuras de números naturales $\langle \mathbb{N},+,\cdot,0,1,<\rangle^{M_1}=\langle \mathbb{N},+,\cdot,0,1,<\rangle^{M_2}$ pero no están de acuerdo en la verdad aritmética, en el sentido de que tienen una sentencia aritmética $\sigma$ tal que $M_1\models\mathbb{N}\models\sigma$ y $M_2\models\mathbb{N}\models\neg\sigma$ . Esto puede interpretarse como una dependencia de la categoricidad del fondo teórico de conjuntos.

Aquí hay otras formas de mostrar que la categoricidad puede cambiar con el trasfondo de la teoría de conjuntos.

• Dejemos que $t$ sea el $L$ -Árbol de Suslin mínimo con la propiedad de rama única. Consideremos la teoría $T$ afirmando el diagrama elemental de $t$ junto con la afirmación " $b$ es una rama a través de $t$ ", utilizando un nuevo símbolo de predicado $b$ . En la extensión de forzamiento que se obtiene al forzar con $t$ hay una rama única a través de $t$ y la teoría es totalmente categórica en ese modelo (en lógica de segundo orden). Pero si se fuerza con $t$ de nuevo, entonces en ese universo teórico de conjuntos, la misma teoría ya no es categórica, ya que hay una elección para la rama.

• De forma similar, en el contexto contable se puede escribir la teoría que describe la estructura de los números naturales $\mathbb{N}$ además de la afirmación de que $Z$ es un predicado cuya extensión sobre $\mathbb{N}$ es exactamente $0^\sharp$ (esto es definible en la lógica de segundo orden). Esta teoría es categórica en la lógica de segundo orden, si $0^\sharp$ existe, ya que sólo hay una cosa que la satisfaga, pero no es satisfacible en absoluto si $0^\sharp$ no existe. O uno podría hacer que la teoría diga que $Z$ es $0^\sharp$ , si $0^\sharp$ existe, y si no, cualquier cosa. Esto es categórico si y sólo si $0^\sharp$ existe.