Problema de desigualdad con QM-AM-GM-HM o desigualdad de Cauchy Schwarz

Question

Pregunta: Demuestre que si $x$ , $y$ , $z$ son números reales positivos, entonces se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$$ Intenté pensar en aplicar QM-AM, pero no sabía qué variables utilizar. También pensé que esto podría estar relacionado con la desigualdad de Cauchy, pero no estaba seguro, de nuevo, de qué variables utilizar. Cualquier ayuda sería muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Queremos demostrarlo:

$$\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$$

Nótese que, por la desigualdad QM-AM:

$${\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2 \leq \frac{x^2 + y^2}{2}.$$

En consecuencia:

$$\frac{x + y}{x^2 + y^2} \leq \frac{2}{x + y}.$$

Por lo tanto, queda por demostrar que:

$$\frac{2}{x + y} + \frac{2}{y + z} + \frac{2}{x + z} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.$$

Por la desigualdad AM-HM:

$$\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \leq \frac{x + y}{2}.$$

Por lo tanto:

$$\frac{2}{x + y} \leq \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2}$$

De la misma manera:

$$\frac{2}{y + z} \leq \frac{\frac{1}{y} + \frac{1}{z}}{2},$$

y

$$\frac{2}{x + z} \leq \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{z}}{2}.$$

QED.

Answer 2

Después de un poco de álgebra obtenemos $y^3(x-z)(x^4-z^4)+z^3(x-y)(x^4-y^4)+x^3(y-z)(y^4-z^4)\geq 0$ Esto lo he obtenido cancelando los denominadores y simplificando los términos dados y moviéndolos todos al lado izquierdo.

Answer 3

Es cierto que $(x+y)^2\le2(x^2+y^2)$ y puede verse como una consecuencia de CS, por lo que $$\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac2{x+y}+\frac2{y+z}+\frac2{z+x}.$$ Además, desde $(x+y)^2\ge4xy$ se puede deducir que $$\frac2{x+y}\le\frac1{2x}+\frac1{2y},$$ por lo que la desigualdad se deduce fácilmente.