Relación de recurrencia para el determinante de una matriz tridiagonal

Question

Dejemos que

$$f_n := \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{vmatrix}$$

Aparentemente, el determinante de la matriz tridiagonal anterior viene dado por la relación de recurrencia

$$f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1} b_{n-1}f_{n-2}$$

con valores iniciales $f_0 = 1$ y $f_{-1} = 0$ (según Wikipedia). ¿Alguien puede explicarme cómo han llegado a esta relación de recurrencia? La verdad es que no entiendo cómo se deduce.

Answer 1

La recurrencia se obtiene desarrollando el determinante a lo largo de la última columna (o, equivalentemente, a lo largo de la última fila).

Answer 2

Para $n \ge 2$ utilizando la expansión de Laplace en la última fila se obtiene \begin{align} f_n &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-3} \\ & & & c_{n-3} & a_{n-2} & b_{n-2} \\ & & & & c_{n-2} & a_{n-1} & b_{n-1} \\ & & & & & c_{n-1} & a_n \end{vmatrix} \\ &= (-1)^{2n-1} c_{n-1} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-3} \\ & & & c_{n-3} & a_{n-2} \\ & & & & c_{n-2} & b_{n-1} \end{vmatrix} + (-1)^{2n} a_n \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-2} \\ & & & c_{n-2} & a_{n-1} \end{vmatrix} \\ &= - c_{n-1} (-1)^{2(n-1)} b_{n-1} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-3} \\ & & & c_{n-3} & a_{n-2} \end{vmatrix} + a_n f_{n-1} \\ ~ - &= a_n f_{n-1} - c_{n-1} b_{n-1} f_{n-2} \end{align} como relación de recurrencia.

Para las condiciones iniciales:

De la comparación de la fórmula anterior con las matrices de $n=1$ y $n=2$ nos encontramos con que: $$ f_1 = a_1 f_0 - c_0 b_0 f_{-1} \overset{!}{=} a_1 \\ f_2 = a_2 f_1 - c_1 b_1 f_0 \overset{!}{=} a_1 a_2 - c_1 b_1 $$ Esto último implica $f_0 = 1$ y el anterior $f_{-1} = 0$ .