Solución distributiva de la ecuación diferencial

Question

Así que estoy luchando con este problema.

Se da el siguiente DGL:

$$ T'' - \ \omega ^{2} _{0} T = \delta _{0} $$

Así que primero tengo que transformar de Fourier la ecuación. Entonces obtengo lo siguiente:

$$ -\omega^{2} \widehat{T} - \ \omega ^{2} _{0} \widehat{T} = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }$$

Entonces tengo esto:

$$ \Longrightarrow \widehat{T} = - \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \frac{1}{ ( \ \omega ^{2} _{0}+\omega^{2} ) } = - \frac{1}{2\omega _{0}} \widehat{g}(\omega)$$

con

$$ g(t)= e^{-\omega_{0}|t|} $$

$$ \widehat{g}(\omega) = \frac{2 \omega_{0}}{ \sqrt{2 \pi } } \frac{1}{\omega ^{2} _{0} + \omega ^{2}} $$

Ahora lo transformaría de nuevo:

$$ \Longrightarrow T = - \frac{1}{2\omega _{0}}g(t)$$

para resolver la ecuación, pero no sé si esto es correcto.

Answer 1

Con $T(t) = -\frac{1}{2\omega_0} e^{-\omega_0|t|}$ tenemos $$T'(t) = \frac12 e^{-\omega_0|t|} \operatorname{sign}(t),$$ $$T''(t) = -\frac12 \omega_0 e^{-\omega_0|t|} + (T'(0+)-T'(0-)) \, \delta(t) = -\frac12 \omega_0 e^{-\omega_0|t|} + \delta(t).$$

Por lo tanto, tenemos $$T''(t) - \omega_0^2 T(t) = \left( -\frac12 \omega_0 e^{-\omega_0|t|} + \delta(t) \right) - \omega_0^2 \left( -\frac{1}{2\omega_0} e^{-\omega_0|t|} \right) = \delta(t).$$

Así, $T$ satisface su ecuación diferencial.

En realidad hay más soluciones, pero éstas no son transformables de Fourier: $$T(t) = A e^{\omega_0 t} + B e^{-\omega_0 t} -\frac{1}{2\omega_0} e^{-\omega_0|t|},$$ donde $A$ y $B$ son algunas constantes.