${\rm sup}\ A\cap B = {\rm min}\ \{ {\rm sup} (A), {\rm sup}(B) \} $

Question

Dejemos que $A,B\subseteq \mathbb{R}$ sea un intervalo no vacío y acotado desde arriba.
Si $A\cap B\neq \emptyset $ demostrar que está acotado por arriba y que $Sup(A\cap B)=min\{sup(A),Sup(B)\}$

$A,B$ están acotados por arriba por lo tanto hay $M_1,M_2$ tal que $a\leq M_1$ y $b\leq M_2$ .
para $x \in A\cap B$ $(x\in A \wedge x\in B)$ Así que $x\leq M_1 \wedge x\leq M_2$ .
W.L.O.G digamos que $A\leq B$ si es así que $x\leq M_1\leq M_2$ pero sólo hay un Supremum y, por definición, es el menor límite superior, por lo tanto $Sup( A\cap B)= M_1$ y si $B\leq A$ la prueba es la misma.

¿Es una prueba válida?

Answer 1

La afirmación no es cierta. Piensa en

$$A = \{1, 2\}, B = \{1, 3\}. $$

Answer 2

Desde $A=(a_0, a_1)$ y $B=(b_0, b_1)$ con $a_1, b_1 < \infty$ y $a_0, b_0 \ge -\infty$ , escriba la intersección explícitamente:

$$A\cap B = (\max(a_0, b_0), \min(a_1, b_1))$$ El supremum de un intervalo es su punto final derecho por lo que $$\sup A\cap B = \min(a_1, b_1) = \min(\sup A, \sup B)$$

Nótese que es irrelevante para esta prueba si los intervalos tienen extremos abiertos o cerrados en cualquier lado.

Answer 3

En general, podemos demostrar que el sup de una intersección no vacía es menor o igual que el sup de cualquiera de los conjuntos:
$$ (1)-sup(A\cap B)sup(A)$$ o $$(2)-sup(A\cap B)sup(B).$$ Prueba de (1): $ $ Sea x $\in$ (A $\cap$ B) sea arbitraria. Entonces x sup(A $\cap$ B). Dado que x $\in$ (A $\cap$ B), x $\in$ A, por lo que x sup(A). Por lo tanto, sup(A) es un límite superior para A $\cap$ B. Sin embargo, como A $\cap$ B $\subset$ A y sup(A $\cap$ B) es el menos límite superior para A $\cap$ B, se deduce que sup(A $\cap$ B) sup(A).

Prueba de (2): $ $ Sea y $\in$ (A $\cap$ B) ser arbitrario. Entonces y sup(A $\cap$ B). Dado que y $\in$ (A $\cap$ B), y $\in$ B, por lo que y sup(B). Por lo tanto, sup(B) es un límite superior para A $\cap$ B. Sin embargo, como A $\cap$ B $\subset$ B y sup(A $\cap$ B) es el menos límite superior para A $\cap$ B, se deduce que sup(A $\cap$ B) sup(B).

Por supuesto, en ambas pruebas estamos asumiendo que tanto A como B son subconjuntos de $\mathbb{R}$ y que tanto A como B estén acotados por encima para que exista sup(A) y sup(B).