Dado un azar matriz cuadrada de tamaño $n\times n$ en el campo de $\mathbb F_2$, ¿cuál es la probabilidad de que su determinante es $1$? (Esta es también la probabilidad de que la matriz es no singular, ya que $\mathbb F_2$ sólo tiene los elementos $0$$1$.)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La probabilidad de que una matriz de más de $\mathbb{F}_2$ ha determinante $1$ es
$$\frac{|SL_n(\mathbb{F}_2)|}{|\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_2)|} = \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(2^n - 2^k)}{2^{n^2}} = \prod_{k=1}^{n} \Big(1 - \frac{1}{2^k} \Big).$$
De manera más general, la probabilidad de que una matriz de más de $\mathbb{F}_q$ tiene determinante 1 es
$$\frac{|SL_n(\mathbb{F}_q)|}{|\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)|} = \frac{\frac{1}{q-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(q^n - q^k)}{q^{n^2}} = \frac{1}{q-1}\prod_{k=1}^{n} \Big(1 - \frac{1}{q^k} \Big).$$
Para una explicación sobre cómo calcular el $|SL_n(\mathbb{F}_q)|,$ ver esta nota por Gabe Cunningham.
Como este es demasiado largo para un comentario, he puesto como un apéndice de mi respuesta original. La probabilidad de hecho converger a un positivo límite de $n\rightarrow \infty.$ Observar,
$$\begin{align} \log \left(\prod_{n \in \mathbb{Z}_+}(1 - \frac{1}{q^n}) \right) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}_+} \log \Big(1 - \frac{1}{2^n} \Big) \\ &= -\sum_{n \in \mathbb{Z}_+} \sum_{k \in \mathbb{Z}_+} \frac{1}{k} \left( \frac{1}{q^n} \right)^k \\ &= -\sum_{k \in \mathbb{Z}_+} \frac{1}{k} \left(\sum_{n \in \mathbb{Z}_+} \Big(\frac{1}{q^{k}} \Big)^n \right) \\ &= -\sum_{k \in \mathbb{Z}_+} \frac{1}{k} \left(\frac{q^{-{k}}}{1 - q^{-{k}}} \right) \\ &= -\sum_{k \in \mathbb{Z}_+} \frac{1}{k} \left(\frac{1}{q^{k} -1} \right) \\ &\gt -q\sum_{k \in \mathbb{Z}_+} \frac{1}{k} \Big(\frac{1}{q} \Big)^k \\ &= \log(1/q^q). \end{align} $$
De ello se desprende $\displaystyle\prod_{n \in \mathbb{Z}_+} \Big(1 - \frac{1}{q^n} \Big) > 1/q^q$, por lo que el producto converge.
