¿Cómo resolver una EDO "casi cuadrática"?

Question

Supongamos que para algunas constantes $\alpha,\beta,\gamma$ que se nos da la siguiente EDO: $$\alpha y''+\beta xy'+\gamma y=0.$$ Ahora, sé cómo encontrar la solución general para $y(x)$ si alguno de $\alpha,\beta,\gamma$ debería resultar $0$ pero he acabado con el ODE $$2y''+xy'+y=0.$$ ¿Puede alguien indicarme los primeros (pocos) pasos de un procedimiento general que se pueda utilizar para este tipo de EDOs?

Answer 1

Escribe $xy'+y$ como $(xy)'$ e integrar para conseguirlo: $$y' + \frac{x}{2}y = c_1$$

Que puede resolverse mediante el factor integrador $\exp\left(\int \frac{x}{2} \, dx\right) = \exp\left(\frac{x^2}{4}\right)$ . Sin embargo, la solución no puede escribirse en términos de funciones elementales:

$$\begin{align*} \exp\left(\frac{x^2}{4}\right)y' + \dfrac{x}{2}\exp\left(\frac{x^2}{4}\right)y &= c_1 \exp\left(\frac{x^2}{4}\right) \\ \exp\left(\frac{x^2}{4}\right)y &= c_1 \int \exp\left(\frac{x^2}{4}\right) \, dx + c_2 \end{align*}$$

Así: $$y = c_1 \exp\left(-\frac{x^2}{4}\right) \int \exp\left(\frac{x^2}{4}\right) \, dx + c_2\exp\left(-\frac{x^2}{4}\right)$$

Esto sólo funciona si $\beta = \gamma$ pero sí funciona para el ODE que tienes.

Answer 2

Asuma su solución

$$y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+\alpha} \,,$$

y se introduce en la ecuación diferencial y se intenta encontrar una relación de recurrencia en $a_k$ . Por supuesto, hay que determinar $\alpha$ como primer paso. El conocido método de series de potencia para la oda de segundo orden es Método de Frobenius .

Answer 3

Maple da la solución general utilizando las funciones M y U de Kummer.

$$y \left( x \right) =c_{{1}}{{\rm e}^{-{\frac {\beta\,{x}^{2}}{ 2 \alpha}}}} {{\rm M}\left(-{\frac {-2\,\beta+\gamma}{2\beta}},\frac{3}{2},\,{\frac {\beta\,{x}^{2}}{2\alpha}}\right)} x+c_{{2}}{{\rm e}^{-{\frac {\beta\,{x}^{2}}{2\alpha}}}} {{\rm U}\left(-{\frac {-2\,\beta+\gamma}{2\beta}},\,\frac{3}{2},\,{\frac {\beta\,{x}^{2}}{2\alpha}}\right)} x$$

También podría escribirse en términos de funciones hipergeométricas.

Answer 4

La forma general como la tienes, es una ecuación diferencial hipergeométrica. Puedes manipularla en una forma estándar y luego aplicar el método de Frobenius. Aquí ya está resuelto para varios casos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_solution_to_the_hypergeometric_equation