¿Cuál es el cierre y el interior de este conjunto en este espacio?

Question

Consideremos el espacio topológico $ X = (\mathbb{R}_l \times \mathbb{R}, \tau_{prod})$ . Aquí $\mathbb{R}_l$ denota la línea real con la topología del límite inferior. La base del espacio producto es la colección $$ \beta = \left\{ [a, b) \times (c,d) \mid a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}. $$ Arreglar algunos $q \in \mathbb{Q}$ . Quiero considerar el conjunto $A = \left\{q \right\} \times \mathbb{Q}$ . En el plano esto es como una línea vertical que se extiende hacia adelante desde $q$ y que consiste en todos los racionales.

Puedo escribir $$A = \bigcup_{q' \in \mathbb{Q}} \left\{q \times q' \right\}. $$ Ahora estaba tratando de averiguar cuál es el cierre del singleton $\left\{q \times q' \right\}$ en $X$ para la topología del producto. Creo que este conjunto es cerrado, por lo que el cierre es igual a sí mismo. No estaba seguro de cómo demostrar esto. Dejo que $z_1 \times z_2$ sea un punto de la clausura. Entonces, para cualquier base abierta $V = [a,b) \times (c,d)$ que contiene $z_1 \times z_2$ tenemos que $V \cap \left\{q \times q' \right\} \neq \emptyset. $ Quiero concluir de esto que $z_1 \times z_2 \in \left\{q \times q'\right\}$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Además, si mi intuición es correcta, ¿el interior de $\left\{q \times q' \right\}$ ¿Vacío? La razón por la que pregunto esto, es porque quiero demostrar que el conjunto $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ es escaso (es decir, puede escribirse como una unión contable de conjuntos no densos) en $X$ . Porque entonces podría escribir $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ como una unión contable de conjuntos de la forma $A$ De lo que se desprende la conclusión.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

La topología $\tau_l$ del espacio $\Bbb R_l$ , normalmente llamada línea o flecha de Sorgenfrey, está relacionada con la topología estándar $\tau$ de $\Bbb R$ . A saber, $\tau_l$ es más fuerte que $\tau$ . En particular, esto implica que todos los singletons en los espacios $\Bbb R_l$ y $\Bbb R_l\times \Bbb R$ están cerradas. Por otro lado, cada subconjunto abierto no vacío del espacio $\Bbb R_l$ contiene un subconjunto abierto no vacío del espacio $\Bbb R$ . Esto implica fácilmente que los espacios $\Bbb R_l$ y $\Bbb R$ tienen los mismos subconjuntos densos en ninguna parte y, por tanto, los mismos subconjuntos escasos. Lo mismo ocurre con los espacios $\Bbb R_l\times \Bbb R $ y $\Bbb R\times \Bbb R $ . En particular, el conjunto $\Bbb Q\times\Bbb Q$ es escaso en $\Bbb R_l\times \Bbb R $ .