Correspondencia biyectiva entre espacio de cobertura y subgrupo de $\pi_1$

Question

Mi pregunta es bastante sencilla. Tengo muchos problemas para determinar todos los espacios de cobertura posibles de un subespacio $X$ dada su cobertura universal $p : \tilde{X} \rightarrow X$ . Sé que existe una correspondencia biyectiva entre el espacio de cobertura (hasta el isomorfismo) y el subgrupo de $G=\pi_1(X)$ (hasta la clase de conjugación). Pero el enlace que conozco es muy abstracto. En realidad, esto es lo que sé :

Si tenemos $H \subset G$ un subgrupo de $G$ entonces actúa sobre $X$ (porque $Aut(p) \cong \pi_1(X)$ ) de esta manera: si tomamos $x \in X$ y $\tilde{x} \in p^{-1}(x)$ entonces $H$ actúa sobre $p^{-1}(x)$ por la acción de monodromía, y denotamos esta acción por : $\tilde{x} \cdot [\gamma]$ . Ahora, si considero $y \in \tilde{X}$ Quiero saber dónde $y$ se envía, por la acción de $[\alpha] \in H$ . Sabemos que tenemos esas dos biyecciones :

$$\begin{array}{rcl} \phi : \pi_1(X,x) &\to& Aut_{\pi_1(X, x)}(p^{-1}(x))\\ [\gamma] &\mapsto & (\Phi_{[\gamma]} : \tilde{x} \mapsto \tilde{x} \cdot [\gamma]) \end{array}$$

y :

$$\begin{array}{rcl} \psi : Aut(p) &\to& Aut_{\pi_1(X, x)}(p^{-1}(x))\\ f &\mapsto & (f_{x} : p^{-1}(x) \rightarrow p^{-1}(x) , \tilde{x} \mapsto f(\tilde{x})) \end{array}$$

Entonces, tenemos la acción :

$$\pi_1(X, x) \times \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$$

dado por : $$[\alpha] \cdot \tilde{x} = (\psi^{-1} \circ \phi_{\alpha}) \cdot \tilde{x}$$

(aquí, $Aut(p)$ está actuando en $\tilde{X}$ por la acción "natural" : para $f \in Aut(p)$ y $\tilde{x} \in \tilde{X}$ Entonces..: $f \cdot \tilde{x} = f(\tilde{x})$ ), y entonces si tenemos un subgrupo $H$ de $Aut(p)$ la acción es la misma pero restringida a $H$ .

Primera pregunta: ¿es todo esto cierto? ¿He entendido el principio?

Segunda pregunta : Todo esto es muy abstracto, pero en la práctica, ¿cómo determinar los espacios de cobertura $\tilde{X}/H$ dado $\tilde{X}$ la cobertura universal y $H$ un subgrupo de $\pi_1(X)$ ? Si ya sabemos lo que es explícitamente $Aut(p)$ es bastante fácil, pero si sólo sabemos lo que es $\pi_1$ ¿Cómo se hace? Por ejemplo, si tomamos $RP^2 \vee RP^2$ dada su cobertura universal (que es copia de $S^2$ adjunta en $(1,0,0)$ y $(-1,0,0)$ para cada $S^2$ y cada $S^2$ se envía una en la primera copia de $RP^2$ y el de al lado a la otra copia de $RP^2$ y todo esto repetido), ¿cómo determinar todos los espacios de cobertura (conectados)? Podemos tomar un ejemplo más sencillo, por ejemplo $S^1 \vee S^1$ Es lo mismo, No veo cómo hacer en la práctica, no voy a tomar todo el bucle posible del subgrupo que considero, y tratar de averiguar donde cada puntos en enviado a, ¿verdad?

Última pregunta : Vinculada a la pregunta anterior, si entiendo bien, cuando tenemos las cubiertas universales, para determinar todas las cubiertas conectadas posibles, debemos tener o bien una buena comprensión de lo que es $Aut(p)$ o una buena comprensión de la $\pi_1(X)$ ? Quiero decir, sabiendo lo que $\pi_1$ es como (por ejemplo $\pi_1(X) \cong \mathbb{Z}$ ¿pero nada más) no es suficiente?

Tengo algunas dificultades con esto, así que lo siento si parece desordenado, es quizás porque lo es para mí.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Quiero responder primero a su segunda pregunta: Tomemos su ejemplo $X=\Bbb{RP}^2\vee\Bbb{RP}^2$ . Usando el teorema de Van Kampen, $\pi_1(X)\simeq \Bbb Z/2\Bbb Z*\Bbb Z/2\Bbb Z$ En particular $\pi_1(X)$ no es finita, por lo que la fibra del espacio de cobertura universal no puede ser finita. El espacio $Y$ que usted dio, que es

$$Y=\Bbb S^2\amalg \Bbb S^2/_{N_1\sim N_2,~S_1\sim S_2},$$

tiene una estructura de espacio de cobertura para $X$ pero no es su espacio de cobertura universal (Aquí $N$ y $S$ denotan el polo norte y el polo sur respectivamente). Pero $X$ y $Y$ tienen el mismo espacio de cobertura universal, y se puede imaginar cuál es el espacio de cobertura universal de $Y$ es; es $$\tilde{X}={\amalg_{i\in\Bbb Z}~~ \Bbb S^2_i}/_{N_i\sim S_{i+1}}.$$ (Deberían hacer un sorteo para esto).

Una vez que esto está claro, podemos tratar de entender qué es $\tilde{X}/H$ para $H=<ab>$ donde $\pi_1(X)=<a>*<b>$ por ejemplo. Para ello necesitamos entender cómo $ab$ actuar $\tilde{X}$ . Con una buena elección para $a$ y $b$ , $ab$ envía $\{N_i,S_{i+1}\}$ a $\{N_{i+2},S_{i+3}\}$ (Realmente debería hacer un dibujo aquí). Por unicidad de las transformaciones de cobertura (dos transformaciones de cobertura son iguales si y sólo si son iguales en un punto), $ab$ es sólo la traducción que envía $\Bbb S_i$ a $\Bbb S_{i+2}$ naturalmente. Por lo tanto, el espacio cociente es de hecho $Y$ con la misma estructura de espacio de cobertura que antes.

Para la primera pregunta, creo que es correcta. Lo más importante que tienes que entender no es necesariamente que tengas una acción de $\pi_1$ en la fibra, pero que $\psi^{-1}\circ \phi$ es una biyección, y de hecho una isomorfismo ¡!

En cuanto a la última pregunta, lo entiendes bien. Tienes que tener una buena comprensión de lo que $\psi^{-1}\circ \phi$ es, es decir, tienes que entender la identificación natural de $\pi_1$ y $Aut(\tilde{X})$ . En todo caso (al menos cuando $\pi_1$ es "simple"), primero debe determinar cuál es el espacio de cobertura universal y determinar $Aut(\tilde{X})$ . Entonces es fácil cotizar por un subgrupo de $\pi_1$ porque sólo cotizará por un grupo de automorfismo.

Editar: Doy una imagen para ver la acción de $ab$ en la fibra. Ya veo $\Bbb{RP}^2$ como un disco con su frontera cotizada por la acción del mapa antipodal. La proyección del espacio de cobertura es la identificación con los colores. En azul tenemos $ab$ y su elevación a partir de $\tilde{x}_0$ .