encontrar una función en una ecuación integral.

Question

Existe una función " $f$ definida y continua para un11 real x", que satisface una ecuación de la forma $$\int_{0}^{x}f(t)dt= \int_{x}^{1}t^2f(t)dt + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + c$$ donde c es una constante. Encuentra una fórmula explícita para f (x) y encuentra el valor de la constante c.

Lo que hago. Derivar ambos lados y obtener

$$ f(x) = -x^2f(x)+ 2x^{15}+2x^{17}$$ entonces $$f(x)= \frac{2x^{15}+2x^{17}}{1-x^2}$$ pero esta función no es continua para todo x real. He hecho algo mal, un poco de ayuda.

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Ok. Veo mi error tan tonto. $f(x)=2x^{15}$ ...causa $f(x)= \frac{2x^{15}+2x^{17}}{1+x^2}$

Answer 1

Tome la derivada con respecto a $x$ : $$ f(x)=-x^2f(x)+2x^{15}+2x^{17} $$ de la que obtenemos $$ f(x)=2x^{15}\text{ and }c=-\frac19 $$ Su respuesta es correcta, salvo un error de signo.