Momento angular y par de un vástago cilíndrico oscilante

Question

Imagina un cilindro homogéneo y uniforme cuya sección transversal no es necesariamente un círculo (puede ser una elipse) sino alguna otra figura con área $A$ . El cilindro oscila como un balancín alrededor de su punto medio por lo que su velocidad angular es $\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$ , donde $\theta$ es el ángulo entre el cilindro y la horizontal.

Tenemos las siguientes relaciones entre su volumen $V$ su densidad $\rho$ su longitud $L$ y la zona $A$ de su sección transversal

$$m=(m_{L}+m_{R})=\rho V=\rho LA$$

donde $m_{R}$ es la masa de la mitad derecha del cilindro y $m_{L}$ es la masa de la mitad izquierda del cilindro (a la izquierda y a la derecha del punto medio alrededor del cual oscila). En general $m_{R}\neq m_{L}$ ya que hay una ligera asimetría entre los dos lados del cilindro.

¿Cuáles son las expresiones para el momento angular y el par de la fuerza de gravedad en términos de $m_{L},m_{R},\dot{\theta},\rho$ y $A$ suponiendo que el centro de masa de cada mitad está situado aproximadamente a un cuarto de la longitud $L$ del cilindro?

Para el par que obtengo utilizando la definición y suponiendo el centro de masa en $L/4$ ,

$$\tau=m_{L}g\cos\theta\frac{L}{4}-m_{R}g\cos\theta\frac{L}{4}=\frac{g\cos\theta (m_{L}^{2}-m_{R}^{2})}{4\rho A}$$

¿Cómo puedo calcular el momento angular? Supongo que $v=\dot{\theta}L/2$ ?

Answer 1

Divida mentalmente el cilindro en dos mitades: la mitad a la izquierda del punto medio de oscilación y la mitad a la derecha del punto medio de oscilación.

Llamemos a la longitud de la parte izquierda del cilindro $L_{l}$ y la longitud de la parte derecha $L_{r}$ . La longitud total $L=L_{r}+L_{l}$ .

Sabemos que la masa de la mitad izquierda es $$m_{l}=\rho V_{l}=\rho AL_{l}$$ Por lo tanto $$L_{l}=\frac{m_{l}}{\rho A}\label{1}\tag{1}$$

Del mismo modo, para el lado derecho

$$m_{r}=\rho V_{r}=\rho AL_{r}$$ y $$L_{r}=\frac{m_{r}}{\rho A}\label{2}\tag{2}$$

$A$ denota el área de la sección transversal del cilindro (igual en las mitades izquierda y derecha del cilindro).

El momento angular viene dado por el producto del momento de inercia por la velocidad angular de cada mitad del cilindro así que

$$AM=I_{l}\dot{\theta}+I_{r}\dot{\theta}$$

Desde $I_{r}=\frac{m_{r}L_{r}^{2}}{3}, I_{l}=\frac{m_{l}L_{l}^{2}}{3}$ el momento angular se convierte en

$$AM=\frac{m_{r}^{3}+m_{l}^{3}}{3\rho^{2} A^{2}}\dot{\theta}$$

donde he utilizado (\ref{1}) y (\ref{2}) para sustituir $L_{l},L_{r}$ .

Para obtener el par total debido a la fuerza de gravedad hay que sumar el par de la izquierda con el de la mitad derecha del cilindro, teniendo en cuenta que la fuerza de gravedad actúa en el punto medio. Como el par es $$\tau=m_{l}\vec{r_{l}}\times \vec{F}+m_{r}\vec{r_{r}}\times\vec{F}$$ obtenemos

$$\tau=g\cos\theta(m_{l}L_{l}/2-m_{r}L_{r}/2)=\frac{m_{l}^{2}-m_{r}^{2}}{2\rho A}g\cos\theta$$

donde asumo que el centro de masa de cada lado del cilindro se encuentra en la mitad del mismo por lo que a $L_{r}/2$ o $L_{l}/2$ y por lo tanto $\vec{r_{r}}=L_{r}/2(\cos\theta,\sin\theta,0),\vec{r_{l}}=L_{l}/2(-\cos\theta,-\sin\theta,0)$ y luego usé de nuevo (\ref{1}) y (\ref{2}).