Dejemos que $a,b,c$ sean los números reales no negativos tales que $a+b+c=1$ . Demostrar que $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}4}+\sqrt b+\sqrt c\le\sqrt3$

Question

Dejemos que $a,b,c$ sean los números reales no negativos tales que $a+b+c=1$ . Demostrar que $$\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}4}+\sqrt b+\sqrt c\le\sqrt3$$

Primero escribí $a$ como $1-b-c$ y lo sustituimos en la desigualdad principal $$\sqrt{4(1-b-c)+(b-c)^2}+2\sqrt b+2\sqrt c\le2\sqrt 3$$ He intentado encontrar alguna relación entre esta desigualdad y las desigualdades de QAGH, pero no he podido. Entonces se me ocurrió elevar al cuadrado la desigualdad principal varias veces para cancelar las raíces cuadradas y luego reducirla a la suma de cuadrados, pero estoy seguro de que hay una forma mejor de demostrarla. ¿Cuál es la mejor manera de demostrarlo?

Answer 1

Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $$\left(\sqrt{a+\dfrac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2 \le \left(a+\dfrac{(b-c)^2}{4}+\dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2}\right)(1+2) $$ $$\Longleftrightarrow \left(a+\dfrac{(b-c)^2}{4}+\dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2}\right)\le 1$$ desde $1-a=b+c$ $$\Longleftrightarrow \dfrac{(b-c)^2}{4}+\dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2}\le b+c$$ $$\Longleftrightarrow \dfrac{(b-c)^2}{4}\le\dfrac{(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}{2}$$ $$\Longleftrightarrow (\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\le 2$$ Está claro, porque usar la desigualdad de Cauchy-schwarz $$b+c\le 1\Longrightarrow (\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\le[1+1](b+c)$$