Necesito determinar todos los divisores positivos de 7!. Tengo 360 como el número total de divisores positivos de 7!. ¿Puede alguien confirmar, o dar la respuesta real?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Alessandro
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Una vez que se factoriza un número como $N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_n^{a_n}$ , $p_i$ primo para cada $i$ , $a_i>0$ por cada $i$ el número de divisores viene dado por $(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...(a_n+1)$ .
Es fácil ver por qué esta fórmula funciona desde un punto de vista combinatorio, los divisores de $N$ también son de la forma $p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}...p_n^{b_n}$ con $b_i\leq a_i$ por cada $i$ pero esta vez algunos (o todos) de los $b_i$ puede ser $0$ Esto significa que podemos elegir $a_i+1$ valores para $b_i$ , de $0$ a $a_i$ .
En su caso $7!=2^43^25^17^1$ por lo que tiene $(4+1)(2+1)(1+1)(1+1)=60$ divisores
Lachlan
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374
Sólo para generalizar lo que otros han dicho, es un pequeño hecho ordenado que el número de factores distintos de $n!$ está dada por:
$$ \prod_{p \in primes}\left( 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\left \lfloor \frac{n}{p^k} \right \rfloor \right) $$
Tenga en cuenta que la suma es simplemente un atajo para calcular el exponente de un factor primo individual que sólo funciona con factoriales. El producto y la parte "1+" se explican adecuadamente en la respuesta de Alessandro.
