¿Cuáles son los divisores positivos del factorial 7?

Question

Necesito determinar todos los divisores positivos de 7!. Tengo 360 como el número total de divisores positivos de 7!. ¿Puede alguien confirmar, o dar la respuesta real?

Answer 1

360 es incorrecto.

$7! = 2^4 3^2 5^1 7^1$ . Ahora empieza a contar...

Nota : Cuenta $\{0,1,2,3,4\} \times \{0,1,2\} \times \{0,1\} \times \{0,1\}$ .

Answer 2

Una vez que se factoriza un número como $N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_n^{a_n}$ , $p_i$ primo para cada $i$ , $a_i>0$ por cada $i$ el número de divisores viene dado por $(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...(a_n+1)$ .

Es fácil ver por qué esta fórmula funciona desde un punto de vista combinatorio, los divisores de $N$ también son de la forma $p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}...p_n^{b_n}$ con $b_i\leq a_i$ por cada $i$ pero esta vez algunos (o todos) de los $b_i$ puede ser $0$ Esto significa que podemos elegir $a_i+1$ valores para $b_i$ , de $0$ a $a_i$ .

En su caso $7!=2^43^25^17^1$ por lo que tiene $(4+1)(2+1)(1+1)(1+1)=60$ divisores

Answer 3

Sólo para generalizar lo que otros han dicho, es un pequeño hecho ordenado que el número de factores distintos de $n!$ está dada por:

$$\prod_{p \in primes}\left( 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\left \lfloor \frac{n}{p^k} \right \rfloor \right)$$

Tenga en cuenta que la suma es simplemente un atajo para calcular el exponente de un factor primo individual que sólo funciona con factoriales. El producto y la parte "1+" se explican adecuadamente en la respuesta de Alessandro.