Supongamos una matriz A, y conozco los vectores singulares izquierdos de SVD(A(:,i)), i=1,2,...,# de columnas, ¿existe una transformación sencilla/rápida para obtener los vectores singulares izquierdos de SVD(A) (la matriz completa)?
Respuestas
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5xum
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No, en absoluto. Los vectores singulares de un vector simple son triviales de calcular (hay un método directo que puedes usar para hacerlo). Los vectores singulares de una matriz son muy difíciles de calcular (no hay, ni puede haber, un método directo si $n\geq 5$ donde $n$ es el tamaño de la matriz)
dantopa
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111
Empezar con una matriz $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m/times n}_{\rho}$ y la definición de la descomposición del valor singular como $$ \mathbf{A} = \mathbf{U} \, \Sigma \, \mathbf{V}^{*}. $$ Dado $\mathbf{A}$ y $\mathbf{U}$ podemos calcular rápidamente $\mathbf{V}$ ?
@5xum proporciona la respuesta más general.
Lo que tenemos es la identidad, $$ \mathbf{U}^{*} \, \mathbf{A} = \Sigma \, \mathbf{V}^{*}. $$ Para ir más allá, necesitamos o bien los valores singulares $\sigma_{k}$ , $k=1,\rho$ para calcular $\mathbf{V}$ : $$ \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{S}^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array} \right] % \left[ \begin{array}{c} \color{blue}{\mathbf{U}^{*}_{\mathcal{R}}} \\ \color{red}{\mathbf{U}^{*}_{\mathcal{N}}} \end{array} \right] \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{c} \color{blue}{\mathbf{V}^{*}_{\mathcal{R}}} \\ \mathbf{0} \end{array} \right] % % $$ o necesitamos $\mathbf{V}$ para calcular el espectro de valores singulares $$ \mathbf{U}^{*} \, \mathbf{A} \, \mathbf{V} = \Sigma $$
