Problemas básicos de la teoría de grupos

Question

1. En un grupo $(G, \circ)$ , $(a\circ b)^3=a^3 \circ b^3$ y $(a \circ b)^5=a^5 \circ b^5$ $ \forall$ $ a, b \in G$ , demostrar que el grupo es abeliano.

Mi solución: $(a^3 \circ b^3) \circ (a\circ b)^2 =a^5 \circ b^5 \implies a^3 \circ b^3 \circ (a \circ b)^2 = a^2 \circ (a \circ b)^3 \circ b^2 \implies a \circ b^3 \circ (a \circ b)^2 = (a \circ b)^3 \circ b^2 \implies (a\circ b) \circ b^2 \circ (a \circ b)^2 = (a \circ b)^3 \circ b^2 \implies b^2 \circ (a \circ b)^2 = (a \circ b)^2 \circ b^2$

Como $a \circ b= c \in G \forall a, b \in G$ Por lo tanto: $b^2 \circ c^2 = c^2 \circ b^2 \implies c \circ b^2 \circ c^2 \circ b= c^3 \circ b^3 \implies (c\circ b)\circ ( b\circ c) \circ (c\circ b) = (c\circ b)^3 \implies b\circ c = c\circ b$ es decir, el Grupo es abeliano.

¿Es correcto este proceso? Por favor, verifíquelo.

2. Si cada elemento de un grupo, [digamos, $(G, *)$ ]salvo que la identidad sea de orden 2, demuestre que es abeliana.

Mi solución:

$o(a)=2 \implies a^2=e$ $ \forall$ $ a \in G-\{e\}$ Por lo tanto, $ a^2=b^2=e$ $[ b\in G -\{e\}] $$ \N - implica que a^2*b^2=e=(a*b)^2 $[as $ a*b \Nen G $] $ \N - Implica que a*(a*b)*b=(a*b)*(a*b)\N - Implica que a*(a*b)*b=a*(b*a)*b \N - Implica que a*b=b*a$ ,es decir, que el Grupo es abeliano.

Por favor, revise las dos soluciones anteriores y haga las correcciones necesarias. Estoy aprendiendo los fundamentos por mí mismo, por lo que un poco de ayuda va un largo camino.

Answer 1

La segunda solución es buena. La primera me resulta un poco incómoda. Para demostrar que un grupo es abeliano, suelo escribir let $a,b\in G$ al principio, y luego obtener $ab=ba$ al final. Usando su argumento, yo escribiría así:

Dejemos que $b,c\in G$ . Sea $a=cb^{-1}$ . Entonces por su primera línea, tenemos $b^{2}(ab)^{2}=(ab)^{2}b^{2}$ . Desde $c=ab$ tenemos $b^{2}c^{2}=c^{2}b^{2}$ . Entonces, por su argumento de la segunda línea, tenemos $bc=cb$ . Así que $G$ es abeliana.

También pondría que $a,b\in G$ al principio de la segunda prueba, para que la gente sepa lo que $a$ y $b$ son.