Pregunta sobre cómo obtener el valor de f X|Y(x|y)

Question

En la siguiente pregunta de ejemplo (de Bertsekas, edición 1), tengo una duda:

¿Por qué el valor de fY|X(y|x) es 1/2?

¿Es porque Y es Y|X es o bien 0 o bien 1/6 (50% de probabilidad), o por alguna otra razón? El punto de confusión para mí es que Y = X + W. Entonces, ¿debería fY|Xy|x) ser similar a fx(x)?

Siempre he tenido dificultades cuando vengo a ver los PDFs condicionales ya que no son tan fáciles (al menos por mi parte) de entender en este punto.

Answer 1

Dado $X=x$ , $Y$ se distribuye uniformemente en el intervalo $[x-1,x+1]$ de longitud $2$ Así que

\begin{equation} f_{Y|X}(y|x)= \begin{cases} 1/2, & x-1\leq y\leq x+1\\ 0, &otherwise \end{cases} \end{equation}