He hecho un curso de teoría de grupos, y al principio aprendimos sobre las relaciones de equivalencia. Pero no veo la conexión entre las relaciones de equivalencia y los grupos en la teoría de grupos. ¿Puede alguien explicarme por qué están relacionadas?
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laleh8798
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Sabes que el conjunto de los números reales distintos de cero forman un grupo bajo la multiplicación.
También conoces de la escuela secundaria las siguientes reglas sobre el signo, para la multiplicación : $$+\times + = +;\quad +\times -= -\times+= -;\quad -\times - = + $$ Esto se puede expresar de la siguiente manera $\{-, +\}$ forma un grupo (de orden 2) con las reglas anteriores para la multiplicación. (con $+$ como elemento de identidad).
Vuelve al grupo original de números distintos de cero, y considera la relación de equivalencia que pone todos los números positivos en una clase y los números negativos en otra clase; da nombres a estas clases (simbólicamente) como $+$ y $-$ . Ahora la multiplicación de los números reales lleva a la multiplicación de las clases de equivalencia. Las reglas ya están establecidas.
Se buscan clases de equivalencia en grupos tales que la operación de grupo sobre ellos conduce de forma coherente a la operación de grupo de las clases de equivalencia.
Las clases de equivalencia dadas por los cosets de un subgrupo normal son precisamente tales.
Geoff Moller
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Dos aplicaciones de las relaciones de equivalencia a la teoría de grupos:
1) Estar en el mismo coset del lado izquierdo de un subgrupo es una relación de equivalencia.
2) La pertenencia a la misma órbita bajo una acción de grupo es una relación de equivalencia. Si el grupo actúa sobre sí mismo por conjugación, las clases de equivalencia se llaman clases de conjugación y desempeñar un papel en representaciones lineales de los grupos (véase el Representaciones lineales de grupos finitos ).
