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¿Tienen los modelos de ZFC valores de descenso arbitrariamente grandes?

Dejemos que $M$ denotan un modelo de tamaño de conjunto bien fundado de ZFC. El valor de descenso de $M$ se definirá como el valor de $n$ devuelto por el siguiente proceso.

Inicialización. Dejemos que $n$ igual $0$ y $X$ igual $M$ .

Paso. Si $L_{\omega_1^X}^X$ no satisface la ZFC según $M$ , parada y salida $n$ . En caso contrario, incrementa $n$ , dejemos que $X$ igual $L_{\omega_1^X}^X$ y repite.

Pregunta. Suponiendo axiomas cardinales suficientemente potentes, ¿es cierto que para cada natural $n\geq 0,$ existe un modelo bien fundado $M$ de ZFC cuyo valor de descenso es $n$ ?

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thedeeno Puntos 12553

No, el valor de descenso es siempre como máximo $1$ en cualquier modelo de ZFC, esté o no bien fundamentado. Para ver esto, observe que si el valor de descenso no es $0$ , entonces en el siguiente paso tienes $X=L_{\omega_1^M}^M$ y así $X$ satisface $V=L$ y así $\omega_1^X$ es el $\omega_1^L$ dentro de $M$ y $L_{\omega_1^L}$ nunca satisface ZFC, ya que piensa que todo ordinal es contable.

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