Demuestre que el campo real $\mathbb{R}$ tiene un ordenamiento único e indica ese ordenamiento

Question

El problema: Demuestre que el campo real $\mathbb{R}$ tiene un ordenamiento único e indica ese ordenamiento.

Mi pregunta: Sabíamos que $\le$ es una ordenación en $\mathbb{R}$ . ¿Es necesario demostrar que $\le$ es una ordenación en $\mathbb{R}$ ? ¿Cómo mostrar que la singularidad? ¡Gracias a todos!

EDITAR 1: Supongamos que $\le$ sea una ordenación en $\mathbb{R}$ por lo que satisface $\le$ es una relación de orden total en $\mathbb{R}$ , $\forall z \in \mathbb{R}, x \le y \Rightarrow x + z \le y + z $ , $0 \le x, 0 \le y \Rightarrow 0 \le xy$ . Supongamos que $<$ ser otra ordenación en $\mathbb{R}$ entonces $x<y$ definido por $x \le y$ y $x \ne y$ . Por lo tanto, existe un ordenamiento único en $\mathbb{R}$ .

Answer 1

Denota por $\leq$ la ordenación habitual en $\mathbb{R}$ y supongamos $\preceq$ es una ordenación en $\mathbb{R}$ . Así que $(\mathbb{R},\preceq)$ es un campo linealmente ordenado. Supongamos que $x \neq 0$ es un número real. Entonces podemos demostrar que $0 \preceq x^2$ y como $x\neq 0$ se deduce que $0\prec x^2$ y también $-x^2\prec 0$ . En consecuencia, deducimos que $$[0,+\infty) = \{x\in \mathbb{R}\,|\,0\preceq x\}$$ Así, los pedidos $\leq$ y $\preceq$ tienen el mismo subconjunto de elementos no negativos. Esto implica que son iguales.