Puntos críticos de polinomios multivariantes

Question

¿Existen resultados generales del número/estructura de los puntos críticos de un polinomio $p : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}$ ? En concreto, el conjunto de $z\in\mathbb{C}^n$ tal que $\nabla p(z) = 0$ .

El ejemplo $p(z_1,z_2) = (z_1^2 + z_2^2 - 1)^2$ muestra que el conjunto puede estar formado por puntos aislados y no aislados. Si el conjunto es discreto, ¿tiene un límite superior en el número de elementos? ¿La parte no discreta está formada por colectores suaves? Este es el tipo de resultados que estoy buscando.

Answer 1

Los componentes del gradiente $\partial_1p,...,\partial_np$ forman un sistema de polinomios de grado $\deg(p)−1$ o menos.

El teorema de Bézout afirma que cualquier sistema de polinomios $f_1,...,f_n$ tiene como máximo $deg f_1⋅deg f_2⋯deg f_n$ soluciones aisladas. Si también se cuentan las soluciones en el infinito, es decir, el conjunto de soluciones de la versión homogeneizada del sistema en el espacio proyectivo, y sigue habiendo sólo soluciones aisladas, la cota es exacta.

Así que habrá como máximo $(\deg(p)−1)^n$ puntos críticos aislados para $p$ .

Como ejemplo que llena el límite considere los polinomios de la forma $p(x)=\sum_{k=1}^nq_k(x_k)$ con $\deg q_k=d$ , $q_k$ "en posición general". A continuación, $\partial_kp=q_k'(x_k)$ depende sólo de una variable y tiene $d-1$ raíces y el conjunto de puntos críticos es el producto cartesiano de $(d-1)^n$ combinaciones.

No veo nada que restrinja la dimensión de los componentes de las soluciones no aisladas.