¿Por qué una función característica es continua en $0$ ?

Question

Mis notas de clase dicen:

$t \mapsto \exp(-t^2/2)$ es una función característica (de $\mathcal{N}(0,1)$ ), por lo que está claro que es continua en $0$ .

Entonces, ¿por qué "ser una función característica" implica "ser continua en $0$ ".

Creo que debería ser algo muy obvio, pero no lo entiendo.

Answer 1

La función característica de cualquier variable aleatoria es continua. Digamos que $X$ es una variable aleatoria y $t_n\to t$ . Entonces $$\Bbb E[e^{it_n X}]\to\Bbb E[e^{it X}]$$ por el Teorema de Convergencia Dominada.