Referencia para "espacios afines topológicos"

Question

Me pregunto si existe una versión topológica de los espacios afines como espacio topológico junto con una acción transitiva libre (continua) de un espacio vectorial topológico sobre él.

Aquí es una noción llamada "Espacios afines topológicos" que es diferente de lo mencionado anteriormente.

Answer 1

Tome cualquier espacio afín $(A,\vec A)$ con el espacio vectorial $\vec A$ dotado de una topología $T_{\vec A}$ haciendo $\vec A$ a espacio vectorial topológico . Arreglar cualquier $a_0\in A$ y que $$T_A:=\{a_0+V\colon V\in T_{\vec A}\}, $$ donde $a_0+V:=\{a_0+v\colon v\in V\}$ . Entonces $T_A$ es una topología sobre $A$ (porque el mapa $\vec A\ni v\mapsto a_0+v\in A$ es una biyección). Además, la acción $$A\times\vec A\ni(a,v)\mapsto a+v\in A$$ de $\vec A$ en $A$ es continua, como se desea.

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Detalles sobre esta última frase: Tome cualquier $a_0+V\in T_A$ para que $V\in T_{\vec A}$ . Tome entonces cualquier $(a,v)\in A\times\vec A$ tal que $a+v\in a_0+V$ . Por la transitividad de la acción de $\vec A$ en $A$ hay algún vector $v_a\in\vec A$ tal que $a=a_0+v_a$ . Por la asociatividad de la acción, $a_0+(v_a+v)=(a_0+v_a)+v=a+v\in a_0+V$ De ahí que $$v_a+v\in V.$$ Entonces, por la continuidad de la adición en el espacio vectorial topológico $\vec A$ Hay miembros $V_1$ y $V_2$ de la topología $T_{\vec A}$ tal que $0\in V_1$ , $0\in V_2$ y $$v_a+V_1+v+V_2\subseteq V.$$ Usando ahora la asociatividad de la acción de nuevo, tenemos \begin{equation} (a+V_1)+(v+V_2)=a_0+(v_a+V_1+v+V_2)\subseteq a_0+V. \tag{1} \end{equation} Desde $0\in V_2$ y $0\in V_1$ tenemos $v\in v+V_2\in T_{\vec A}$ y $a\in a+V_1$ . También, $a+V_1=a_0+(v_a+V_1)$ y $v_a+V_1\in T_{\vec A}$ para que $a\in a+V_1\in T_A$ . Así, (1) muestra que la acción $$A\times\vec A\ni(a,v)\mapsto a+v\in A$$ de $\vec A$ en $A$ es efectivamente continua.