Solución más sencilla a un problema de geometría

Question

En un conjunto de problemas de geometría, me tocó este:

Si en un triángulo $ABC$ con segmentos $AB=8$ , $BC=4$ y $3A+2B=180^{\circ}$ calcula el lado $AC$

Mi solución fue

Dejemos que $A=2\alpha$ , $B=90^{\circ}-3\alpha$ , donde $\alpha<30$ entonces siempre se cumple la segunda condición.

Así que $$tan(2\alpha)=\frac{cos(3\alpha)}{2-sen(3\alpha)}$$ $$\frac{2sen(\alpha)cos(\alpha)}{cos(2\alpha)}=\frac{cos(\alpha)(2cos(2\alpha)-1)}{2-sen(\alpha)(2cos(2\alpha)+1)}$$ $$\frac{2sen(\alpha)}{cos(2\alpha)}=\frac{2cos(2\alpha)-1}{2-sen(\alpha)(2cos(2\alpha)+1)}$$ $$4sen(\alpha)-2sen^2(2cos(2\alpha)+1)=2cos^2(2\alpha)-cos(2\alpha)$$ $$4sen(\alpha)+(cos(2\alpha)-1)(2cos(2\alpha)+1)=2cos^2(2\alpha)-cos(2\alpha)$$ $$4sen(\alpha)+2cos^2(2\alpha)-cos(\alpha)-1=2cos^2(2\alpha)-cos(2\alpha)$$ $$sen(\alpha)=\frac{1}{4}$$

Ahora construimos la altitud a $BC$

Y como $sin(\alpha)=\frac{1}{4}$ fijamos $AC=4k$ , $CE=k$ , $AE=\sqrt{15}k$

Entonces se deduce de Pitágoras que $$(k+4)^2+15k^2=64$$ $$16k^2+8k-48=0$$ $$2k^2+k-6=0$$ $$(2k-3)(k+2)=0$$ Desde $k$ es positivo, $k=\frac{3}{2}\iff AC=4k=6$ Pero el $2,3,4$ (desde los lados $4,6,8$ ) patrón me hace pensar que hay una manera más fácil, por lo que me hace pensar que me perdí algo obvio. Cualquier sugerencia es ideas son muy apreciadas.

Answer 1

De A=2α, B=90-3α se deduce que C=90+α ya que la suma de los ángulos es de 180° Ahora aplica las leyes del seno que implican a AB y BC, utiliza una identidad para sen(90+α) y obtienes una ecuación trigonométrica bastante sencilla con sinα y cosα a partir de la cual puedes encontrar sinα = 1/4 Me llevó dos líneas... PD: ¡¡¡Gran pregunta!!!