Tipos de "igualdad" matemática

Question

¿Qué tipos de "igualdad" matemática tenemos?

Por lo que he podido comprobar (a través de estudios / esta tarde):

• Igualdad entre números o conjuntos (es decir $A\subset B \;\&\; B\subset A$ )
• Homeomorfismo entre espacios topológicos (preservando propiedades topológicas )
• Homomorfismo entre dos estructuras algebraicas, preservando su propiedades respectivas
• Isomorfismo en el álgebra, un homomorfismo biyectivo ( pregunta relacionada )
• Isomorfismo de gráficos (se añade por separado debido a su importancia en la teoría de grafos, a diferencia del álgebra abstracta)
• Congruencia en álgebra (por ejemplo $a \equiv b \; (\text{mod } n)$ )
• Misma cardinalidad de conjuntos cuando existe una biyección entre ellos
• Congruencia (geometría) si un objeto puede traducirse en otro a través de un isometría

Soy consciente de que esta pregunta puede ser vaga, mal definida o demasiado amplia, ya que estoy preguntando por objetos que quizás todavía no conozco. Puede que haya demasiados, puede que no esté claro si dos tipos son diferentes a la luz de esta pregunta. Simplemente me gustaría aprender más y aclarar mis conocimientos actuales. (Además, la comunidad de Math.SE suele dar respuestas excelentes y reveladoras a preguntas a veces incluso muy confusas, siempre y cuando la confusión no provenga sólo de la falta de esfuerzo)

Gracias.

Nota : Elegí el título impar deliberadamente para no insinuar algún significado más matemático (por ejemplo, la igualdad).

Answer 1

La geometría tiene muchas nociones de igualdad.

La geometría euclidiana dice que dos cosas son "iguales" si son congruentes.

La geometría afín dice que dos cosas son iguales si hay una transformación afín entre ellos. (Una transformación afín es el tipo de operación de "cizallamiento" que convierte un rectángulo en un paralelogramo, o una dilatación, o una isometría, o una combinación de ellas). Todos los triángulos son afines-congruentes. Todas las elipses son afín-congruentes. Las longitudes no se conservan con las transformaciones afines, pero los puntos medios y la colinealidad sí.

La geometría proyectiva dice que dos cosas son iguales si existe una transformación proyectiva entre ellas. Todas las secciones cónicas son proyectivas-congruentes. Todos los cuadriláteros son proyectivos-congruentes, creo.

Esta es básicamente la visión kleiniana de la geometría, que aprendí de este libro de texto .

Answer 2

La noción de indistinguibilidad computacional según la cual dos objetos se consideran "iguales" si no son eficientes ( es decir El algoritmo (de tiempo polinómico) que puede distinguirlos, es fundamental para la criptografía moderna. (La definición formal implica familias de variables aleatorias y es un poco confusa, esto es algo con lo que la mayoría, si no todos, los principiantes en criptografía luchan).

En general, ser capaz de disociar los dos objetos considerados supone "romper" el sistema criptográfico propuesto, pero no es razonable exigir que esto sea absolutamente imposible, porque daría lugar a la imposibilidad de construir un sistema práctico que satisfaga las propiedades deseadas (o incluso de construir tal sistema). Por lo tanto, al exigir simplemente que sean indistinguibles desde el punto de vista computacional (en lugar de idénticos), aceptamos que podría ser posible para un adversario romper el sistema siempre que el coste computacional de hacerlo sea (se cree que es) lo suficientemente alto como para estar fuera del alcance de cualquier entidad física. Por otro lado, permite que los sistemas sean lo suficientemente prácticos como para ser utilizados en la práctica, tal y como los conocemos hoy en día.

Answer 3

Esta podría ser una pregunta bastante abierta. Por otra parte, en el sentido de que la "igualdad" puede expresarse a menudo como una relación de equivalencia, podríamos considerar "iguales" varios tipos diferentes de "igualdad".

Pero tal vez podamos aportar cada uno uno uno o dos ejemplos a la lista y llamarlo "respuesta".

Existen al menos dos versiones del cálculo integral y diferencial: el análisis estándar y el análisis no estándar . Una aplicación de la principio de transferencia relaciona estos dos tipos de análisis, mostrando que en cierto sentido son "lo mismo" a pesar de sus evidentes (y antes muy controvertidas) diferencias.