Aclaración de la prueba del lema de Gauss

Question

Estoy tratando de seguir una demostración del lema de Gauss en Teoría de los números por George Andrews . Tengo algunos problemas con un par de suposiciones hechas. Dejemos que g.c.d. $(m,p)=1$ donde $p$ es un primo impar, y sea $\mu$ sea el número de enteros en $$\lbrace m,2m,..., \frac12(p-1)m \rbrace$$ cuyos residuos mínimos modulo $p$ son negativos. La notación para el menor residuo de $m$ modulo $p$ es $LR_p(m)$ . El primer problema que tengo es cuando se afirma que para cualquier $n$ ya que $0 \lt |LR_p(nm)| \lt p/2$ como $n$ toma todos los valores integrales en $(0,p/2)$ También lo hace $|LR_p(nm)|$ . ¿Por qué? No veo por qué el menor residuo se comportaría así.

Además de eso, puedo seguir la prueba hasta donde se indica $$ \left(\frac mp\right) \equiv(-1)^\mu \pmod p$$ donde $\left(\frac mp\right)$ es el símbolo de Legendre. A continuación, se afirma que la congruencia implica $$\left(\frac mp\right)=(-1)^\mu$$ que es donde no veo la conexión. Sé que cada lado de la congruencia será igual a $1$ o $-1$ pero ¿cómo es que $\mu$ es necesariamente incluso si $m$ es un residuo cuadrático módulo $p$ ( $\left(\frac mp\right)=1$ ) y necesariamente impar en caso contrario? Aparentemente se supone que son obvios, así que agradecería cualquier ayuda para entenderlos.

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Editar: De las dos preguntas he resuelto la primera, pero no la segunda.

Answer 1

Aunque es posible que ya conozcas la respuesta a tu primera pregunta, la doy aquí para otras personas. La lista de enteros positivos

$|LR_p(m)|$ , $|LR_p(2m)|$ , ... $|LR_p(\frac{p-1}{2}m)|$

no contiene ningún valor repetido, porque cuando $|LR_p(n_1m)|$ = $|LR_p(n_2m)|$ Entonces, o bien $n_1m \equiv n_2m$ por lo tanto ( recuerde que gcd(m,p)=1) $n_1 \equiv n_2$ o $n_1m \equiv -n_2m$ Por lo tanto $n_1 \equiv -n_2$ , ambos no pueden ser el caso para dos valores diferentes en el rango de $n_j$ valores utilizados en la lista. Así, $n_1 = n_2$ .

Entonces, resumiendo la prueba en el libro de Andrews, cuando el producto de $m$ , $2m$ , ..., $\frac{p-1}{2}m$ se toma, esto es claramente igual a $(\frac{p-1}{2})!\cdot m^{\frac{p-1}{2}}$

Y cuando el producto de $LR_p(nm)$ se toma para n que va de 1 a $\frac{p-1}{2}$ es claramente igual al producto de los signos de estos valores mínimos, por el producto de sus valores absolutos - y acabamos de ver que tomar el producto de sus valores absolutos es congruente (mod p) con tomar el producto de los números 1 a $\frac{p-1}{2}$ que también es igual a $(\frac{p-1}{2})!$ .

Golpeando a la izquierda y a la derecha el factor $(\frac{p-1}{2})!$ (permitido ya que este valor no es un múltiplo de p), nos deja como resultado que

$m^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^\mu$ .

Ahora combina esto con el hecho de que $(\frac{m}{p}) \equiv m^{\frac{p-1}{2}}$ y obtenemos

$(\frac{m}{p}) \equiv (-1)^\mu$

En tu segunda pregunta has pasado por alto una cosa muy sencilla: los números de la izquierda y de la derecha en la ecuación de congruencia anterior sólo pueden tomar valores 1 o -1, por lo que (p es impar) deben ser iguales en valor. Así obtenemos el resultado deseado:

$(\frac{m}{p}) = (-1)^\mu$