Si $n$ no es divisible por ningún número primo menor que $2014$, entonces $n+c$ divide a $a^n+b^n+n$.

Question

Encuentra todos los triples $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que si $n$ no es divisible por ningún primo menor que $2014$, entonces $\color{red}n+\color{red}c$ divide $\color{red}a^n+\color{red}b^n+\color{red}n$

Este problema es de la New Zealand TST 2014 y solo hay una solución:

$\textbf{respuesta}$:$\color{red}(\color{red}a,\color{red}b,\color{red}c)\color{red}=(1,1,2)$

¿Puede alguien ayudar a explicar por qué solo hay una solución?

Answer 1

Sea q el producto de todos los números primos menores que 2014, y: $$\begin{align}R&=&\{r\in \mathbb{N}/ r=1\mod q\} \\ P&= &\{p\in \mathbb{P}/ p=1\mod q\}\end{align}$$ donde $\mathbb{N}$ denota el conjunto de enteros positivos y $\mathbb{P}$ el conjunto de números primos.

Sea $(a,b,c)$ un trío de enteros positivos tal que si $n$ no es divisible por ningún primo menor que 2014, entonces $n+c$ divide a $a^n+b^n+n$

Dado $r\in R, p\in P$, Sea $k=(p-1)(r+c)+r$ de manera que: $$n=1\mod q$$ (porque $q$ divide a $p-1$ y $r=1\mod q)

así que $k$ no es divisible por ningún primo menor que 2014, entonces $k+c$ divide a $a^k+b^k+k$ lo cual es equivalente a $k+c$ divide a $a^k+b^k-c=(a^k+b^k+k)-(k+c)$.

Observemos que $p$ divide a $k+c$ por lo tanto $p$ divide a $a^k+b^k-c$. La definición de $k$ también nos da $\begin{align} n&=r\mod (p-1)\end{align}$, usando el pequeño teorema de Fermat obtenemos: $$\begin{align} a^r+b^r-c&=0\mod p \end{align}$$

Este resultado es válido para todos los primos $p\in P$ y debido a que $P$ es infinito como consecuencia del teorema de Dirichlet:

$$a^r+b^r-c=0 $$ (darse cuenta de que una constante positiva no puede ser divisible por un infinito de primos)

y también este resultado es válidos para todos los enteros $r\in R$ en particular para $1$ y $q+1$: $$\begin{align} a+b&=c &(r=1) \\ a^{q+1}+b^{q+1}&=c &(r=q+1) \end{align}$$

Usando la desigualdad: $$2^{q}(a^{q+1}+b^{q+1})\geq (a+b)^{q+1} $$ y por lo tanto $ 2^kc\geq c^{k+1}$ lo cual implica $2\geq c$ y porque $c=a+b$ y $c,a,b$ son positivos concluimos que $c=2$ y $a=b=1$.

Permanece comprobar que $(1,1,2)$ verifica la propiedad dada lo cual es obvio.