¿Cómo se llama la propiedad matemática que consiste en sumar o restar fracciones sobre un denominador común?

Question

Para cualquier número $x$ donde $x\in\Bbb R$ y donde $x\ne0$ ¿Cuál es la propiedad matemática que establece que: $${1-x^2\over x} = {1\over x} - {x^2\over x}$$

Answer 1

Sólo las reglas de cálculo de las fracciones: $$ \frac{a - b}{c} = \frac{a + (-b)}{c} \\ \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \\ \frac{(-b)}{c} = -\frac{b}{c} $$ para $a = 1$ , $b = -x^2$ y $c = x \ne 0$ .

Answer 2

En $\Bbb R$ (o cualquier otro anillo de división ), tenga en cuenta que $\frac{x}{y} = x y^{-1}$ , donde $y^{-1}$ se define como el número tal que $yy^{-1}=1=y^{-1}y$ y $x-y = x + (-y)$ , donde $-y$ se define como el número tal que $y+(-y)=0=(-y)+y$ y que $(x+y)z = xz + yz$ (la multiplicación es distributiva a la izquierda sobre la suma)

Así, en cualquier contexto en el que $b$ tiene un inverso aditivo, $c$ tiene un inverso multiplicativo, y la multiplicación es distributiva a la izquierda sobre la suma, la expresión se convierte en

$$\frac{a-b}{c} = (a + (-b))c^{-1} = ac^{-1} + (-b)c^{-1} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$$

Tenga en cuenta que $0$ no puede tener un inverso multiplicativo, por lo que esto es cierto sólo cuando $c\ne0$