Demuestre que el tamaño máximo de un conjunto de una distancia en $\Bbb R^n$ es $n+1$

Question

Es bastante creíble que el tamaño máximo de un conjunto de una distancia en $\Bbb R^n$ es $n+1$ (tomar los vértices de un complejo simplicial). Estoy tratando de demostrar este hecho utilizando el álgebra lineal y no he podido formalizar el resultado.

Dejemos que $\{v_0,v_1,\ldots,v_t\}$ sea un conjunto de una distancia en $\Bbb R^n$ . Sin pérdida de generalidad $v_0=\vec 0$ por lo que hay que definir la función $$w_i=v_i-v_0=v_i$$ para $1\le i\le t$ . Entonces, observe que el producto interno $w_i\cdot w_j$ da \begin{align} w_i\cdot w_j&=1&\text{if }i=j;\\ w_i\cdot w_j&=\delta<1&\text{if }i\neq j. \end{align}

Ahora pretendemos demostrar que $w_i$ son linealmente independientes. Supongamos que $$\sum_{i=1}^t\lambda_i w_i=\vec 0.$$ Entonces la multiplicación por $w_j$ da algo así como $$\lambda_j+\delta(\lambda_1+\cdots+\lambda_{j-1}+\lambda_{j+1}+\cdots+\lambda_t)=0$$ y espero que esto implique $\lambda_j=0$ . Así, $w_i$ son linealmente independientes por lo que $t\le n$ por lo que el tamaño del conjunto original es como máximo $t+1$ .

¿Alguna sugerencia para la última parte?

Answer 1

No hay esperanza de que esta prueba funcione tal y como está, pues supongamos que se toma un montón de (ej, $2n$ ) vectores unitarios distintos $u_i$ en el primer cuadrante. Entonces tendrá

\begin{align} u_i \cdot u_i &= 1 & \text{for all $i$, because these are unit vectors}\\ 0 < u_i \cdot u_j &< 1 \text{for $i \ne j$, by Cauchy Schwartz.} \end{align}

Dado que estas son exactamente las cosas que usted sabe sobre el $w_i$ No se puede concluir de estas meras cosas que no hay más que $n$ de la $w_i$ o que el $w_i$ son independientes.

Una prueba inductiva podría tener más éxito. Utilice, como hipótesis, que para $k$ puntos en un conjunto de distancia-1 en $\mathbb R^n$ con el primer punto en el origen, hay una base ortonormal en la que los restantes $k$ son los vértices de una norma $(k-1)$ -en el ámbito de la primera $k$ vectores base, y $k < n+1$ .

(Tendrá que elegir su simplex "estándar"; puede ser más sencillo trabajar con marcos de coordenadas afines en lugar de bases vectoriales).