Supongamos que $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es una matriz simétrica y $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es una matriz simétrica positiva definida. ¿Es cierta la siguiente afirmación $$ \lambda_{\mathrm{min}} \operatorname{tr} A \le \operatorname{tr} (AB) \le \lambda_{\mathrm{max}} \operatorname{tr} A \, ? $$ Aquí, $\lambda_{\mathrm{min}}$ denota el menor valor propio de $B$ y $\lambda_{\mathrm{max}}$ denota el mayor valor propio de $B$ .
Respuesta
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La afirmación no es cierta, ya que $A=-I_2$ y $B=\text{diag}(1,2)$ es un contraejemplo evidente. Pero si suponemos que $A$ es positiva definida y $B$ es simétrica, entonces la afirmación es verdadera. (De hecho, $A\ge O$ también es necesario para que la afirmación sea verdadera). Comenzamos con la siguiente observación.
Si $A,B$ son matrices simétricas y positivas definidas, entonces $\text{tr}(AB)\ge 0$ .
Dejemos que $\sqrt{A}$ denotan la raíz cuadrada de $A$ . Entonces, $$\begin{align*} \text{tr}(AB)&=\text{tr}(\sqrt{A}\cdot\sqrt{A}^TB)\\&=\text{tr}(\sqrt{A}^TB\cdot\sqrt{A})\\ &=\sum_{i=1}^n e_i^T \sqrt{A}^TB\sqrt{A}e_i\ge 0 \end{align*}$$ desde $B$ es positiva definida. $\blacksquare$
Sabiendo esto, hay que tener en cuenta que si $A\ge O$ y $B$ es simétrico, entonces $$ B-\lambda_{\text{min}}I\ge O,\quad \ \lambda_{\text{max}}I-B\ge 0. $$ Así, $$ \text{tr}(A(B-\lambda_{\text{min}}I))=\text{tr}(AB)-\lambda_{\text{min}}\text{tr}(A)\ge 0, $$ y $$ \text{tr}(A(\lambda_{\text{max}}I-B))=\lambda_{\text{max}}\text{tr}(A)-\text{tr}(AB)\ge 0. $$
