¿Cómo se piensa en el colector de banderas $\mathrm{U}(n)/T^n$ ? El documento que estoy leyendo actualmente sólo me dice que se puede pensar en vectores ortonormales en $\mathbb{C}^n$ . ¿Alguien puede ayudar a entender cómo? Gracias.
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Tasha
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El grupo $\mathrm{U}(n)$ actúa transitoriamente sobre las colecciones de $n$ vectores ortonormales en $\mathbb{C}^n$ . (Para ver esto, la base estándar es tal colección, y dada cualquier otra colección $v_1,\dotsc,v_n$ podemos ponerlas como columnas de una matriz, que será unitaria y transformará la base estándar en la colección $v_1,\dotsc,v_n$ . Por lo tanto, la acción sigue siendo transitiva en clases de equivalencia de tales colecciones bajo la relación de diferir sólo por fase.
Por lo tanto, podemos identificar el conjunto de todas estas clases con el cociente de $\mathrm{U}(n)$ por el estabilizador de una de ellas, y el estabilizador de la clase de la base estándar es $T^n$ . El hecho de que hagamos que cada colección sea ambigua hasta la fase es importante aquí, si no el estabilizador sería trivial.
(Este es un caso particular de una construcción general - si $G$ actúa transitivamente sobre un conjunto $X$ , entonces para cada $x\in X$ existe una biyección entre $X$ y $G/\operatorname{Stab}_G(x)$ .)
