Generadores de $S_4$

Question

El grupo $S_4$ es generado por $\{(12), (1234)\}$ Ahora algo que quiero saber es que cómo voy a generar por un ciclo de orden $4$ y cualquier ciclo de orden $3$ y el orden $2$ .

Mi pregunta principal es encontrar el número de homomorfismos, y si $\varphi(1234) \to -1$ y $\varphi (12) \to -1$ .

Entonces, ¿cómo voy a concluir desde aquí que cualquier permutación de impar irá a $-1$ y cualquier par irá a $1$ . (Hay que demostrarlo con cálculos burdos y no utilizando teoremas de homomorfismo).

Realmente necesito ayuda.

Answer 1

Cualquier permutación de impar $π$ debe ser expresable como una palabra en $(12)$ y $(1234)$ de la longitud de impar $n$ ya que ambos son Impares. Por lo tanto, $\varphi(π)=(-1)^n=-1$ , ya que $\varphi$ es un homomorfismo.

Answer 2

Utilizando una teoría de la representación (véase este ) he estado trabajando, desarrollé un programa python de procesamiento de cadenas para multiplicar permutaciones. Paso a paso he aumentado el tamaño de nuestro subconjunto de grupo de trabajo, hay una y sólo una representación estándar.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

A partir de aquí se puede "despegar" el resto de $5$ transposiciones y explicar por qué, para cualquier transposición $\omega$ ,

$\quad \varphi(\omega) = -1$