¿Cuál es la idea del modelo de crecimiento logístico?

Question

El modelo de Malthus viene dado por

$\frac{dP(t)}{dt}=rP(t)$ , donde $r$ es la tasa de crecimiento. Este modelo ignora la competencia por los recursos entre los individuos. Así, Verhulst ideó un modelo

$\frac{dP(t)}{dt}=rP(t) \left(1-\frac{P(t)}{K} \right)$ , donde $K$ es la capacidad de carga del medio ambiente. Mi pregunta es:

¿como derivó este modelo o cual fue la idea detrás de este modelo?

En el libro de Strogatz "Non linear dynamics and chaos", dan la siguiente explicación:

Porque $\frac{\dot P(t)}{P(t)}$ La tasa de crecimiento per cápita debería disminuir para la población grande. Una forma matemáticamente conveniente de incorporar estas ideas es suponer que la tasa de crecimiento per cápita disminuye linealmente con $P(t)$ , lo que conduce a la ecuación logística. ¿Fue esta la idea original de Verhulst tras el modelo de crecimiento logístico?

Answer 1

La página de Wikipedia sobre Verhulst tiene enlaces a sus escritos originales . En el primer documento de 1838, básicamente sólo dice (sobre p. 115 ) que como la tasa de crecimiento de la población disminuye a medida que aumenta el número de habitantes, podemos restar una función desconocida $\varphi(p)$ del lado derecho de la ecuación diferencial, $$\frac{dp}{dt} = mp - \varphi(p) ,$$ y que la hipótesis más sencilla que se puede hacer sobre la forma de esta función es que $$\varphi(p) = n p^2 .$$ (También menciona otras formas posibles, como $np^\alpha$ o $n \log p$ .)

Answer 2

Creo que la "intuición" más natural para el modelo de crecimiento logístico es una proporción combinada:

• $\frac{dP}{dt}$ es proporcional a la población en el momento $t$ : $\frac{dP}{dt} \sim P(t)$

$\bf{and}$

• $\frac{dP}{dt}$ es proporcional a la capacidad de la portadora restante en el momento $t$ : $\frac{dP}{dt} \sim (K-P(t))$

La combinación de estas dos proporciones mediante la multiplicación conduce a la ecuación diferencial logística:

$$\frac{dP}{dt} \sim P(t)(K-P(t)) \Leftrightarrow \frac{dP}{dt} \sim P(t)\left(1-\frac{P(t)}{K}\right)$$

Pero no estoy seguro de que estos fueran los pensamientos de Verhulst.