¿Cómo podemos comprobar que la dirección del desplazamiento eléctrico es radial?

Question

Tengo dos preguntas sobre el desplazamiento eléctrico $D$ .

Lo siguiente es un problema en Griffiths.

Un cable largo y recto, que lleva una carga lineal uniforme $\lambda$ está rodeado por un aislamiento de goma hasta un radio $a$ . Encuentra el desplazamiento eléctrico.

(solución en el texto) Dibujar una superficie cilíndrica gaussiana, de radio $s$ y la longitud $L$ aplicando el teorema de Gauss, encontramos $$D(2\pi s L) = \lambda L$$ $$D = \frac{\lambda}{2\pi s}\hat{s}$$

1. Creo que para usar la simetría, nosotros, de antemano, verificamos que la dirección de $D$ es radial. ¿Cómo podemos comprobarlo?

Griffiths también escribió el siguiente consejo.

Cuando se le pida que calcule el desplazamiento eléctrico, busque primero la simetría. Si el problema presenta simetría esférica, cilíndrica o plana, entonces puedes obtener $D$ directamente del teorema de Gauss como el problema anterior. (Evidentemente, en estos casos $\nabla \times P$ es automáticamente cero, pero como la simetría por sí sola dicta la respuesta no estás realmente obligado a preocuparte por el rizo).

2. ¿Cómo podemos conseguir $\nabla \times P=0$ cuando hay simetría? ¿También $\nabla \times P = 0$ implica que la dirección $D$ ¿es radial? Quiero saber cómo demostrarlo.

Answer 1

1. Dejemos que $$\mathbf D = D_\rho \hat{\mathbf \rho}+ D_\varphi \hat{\mathbf \varphi} +D_z \hat{\mathbf z}. $$ Entonces, debido a la simetría cilíndrica $\frac{\partial}{\partial \varphi}=0$ , $D_\varphi $ no debe ser una función de $\varphi$ . Cuando tomamos un círculo de raidus $\rho_0$ que es paralela al plano xy y tiene un punto de intersección con el eje z, la integral de línea de $\mathbf D$ a lo largo del círculo debe ser cero bajo la suposición de que la permitividad relativa es constante en todo el dominio. $$ \oint_C \mathbf D \cdot d\mathbf l = \oint_C \mathbf D \cdot \hat{\mathbf \varphi} \rho d\phi =2\pi\rho_0 D_\varphi = 0 $$ Así que obtenemos $D_\varphi =0$ . De forma similar, también obtenemos $D_z=0$ .

2. $\mathbf P$ es propocional a $\mathbf E$ siempre que el medio sea isotrópico y lineal. Por lo tanto, $\nabla\times \mathbf P =0$ es trivial en la electrostática.