Una sugerencia sobre las ecuaciones funcionales

Question

Ayuda que necesito Estoy preparando una oposición de matemáticas. Necesito aprender métodos para resolver preguntas como esta

Si f $\left(\frac{x+y}{3}\right)$ = $\frac{2+f(x)+f(y)}{3}$ para todos los reales x e y y f'(2)=2 ,entonces determina y=f(x)

No quiero estudiar las ecuaciones funcionales en profundidad ahora mismo. Quiero estudiar sólo lo suficiente para resolver este tipo de problemas (de nivel elemental) como los que se dan arriba.

Por favor, Sugiérame algunos libros apropiados

Answer 1

A grandes rasgos, hay no métodos. Las ecuaciones funcionales son en su mayoría un callejón sin salida. Los pocos afortunados que puede se resuelven, por lo general, mediante la introducción repetida de varios valores adecuados como argumentos.

Para empezar, vamos a deshacernos del 2, pues creo que así quedaría más sencillo: $$f(x)=g(x)+2\text{, then}\\ g\left({x+y\over3}\right)={g(x)+g(y)\over3} $$ Ahora enchufe $0$ para ambos argumentos, y descubrirá que $g(0)=0$ .

Ahora enchufe $x$ y $2x$ y verás que $g(2x)=2g(x)$ .

Llegados a este punto, podríamos empezar a sospechar que nuestra ecuación es, de hecho, equivalente a Ecuación funcional de Cauchy . Podemos seguir así hasta que nuestro dominio se desmenuce según las bases de Hamel. Si no le gusta el sabor, entonces sáltese este paso. De todos modos, una familia particular de soluciones ya era obvia antes: $g(x)=kx$ o $\color{red}{f(x)=kx+2}$ . (Introdúcelo en tu ecuación original para asegurarte de que encaja).

Ahora, si quieres que tu derivado en cualquier lugar sea 2, entonces $k=2$ y hemos terminado.

Así es.