Al estudiar la función $f(x)=\frac{\cos x}{e^{1/x}+1}$ Tenía una duda sobre su continuidad.
El dominio de $f$ es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ Así que, como $f$ es el cociente de la función continua sobre $\mathbb{R}$ $\cos x$ y la función $e^{1/x}+1$ que es continua donde está definida supongo que $f$ es continua para cada $x\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ .
La cuestión es que no estoy seguro de cómo enfocar $x=0$ ya que $$\lim_{x \to 0^+} f(x)=0$$ $$\lim_{x \to 0^-} f(x)=1$$ Así que son diferentes, pero no puedo decir que se diferencien de $f(0)$ desde $f(0)$ ni siquiera existe.
Así que tiendo a decir que $f$ es continua para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
Y sobre su integral si $a<0<b$ $$\int_a^b \frac{\cos x}{e^{1/x}+1}\text{d}x$$ Desde $f$ no se define en $x=0$ Tengo que dividirlo así $$\int_a^0 \frac{\cos x}{e^{1/x}+1} \text{d}x+\int_0^b \frac{\cos x}{e^{1/x}+1} \text{d}x$$ O está bien dejarlo en una integral de $a$ a $b$ ? No es impropio ya que $f$ se limita en torno a $0$ . Tengo algunas dudas sobre este tipo de integrales (cuando hay un punto en el que la función no está definida pero es continua en su dominio), ¿alguien puede decirme una aproximación general a las mismas? Gracias.
