Normalizador del normalizador del subgrupo sylow $p$-

Question

Si $P$ es un subgrupo de Sylow $p$%, ¿cómo puedo probar que el normalizador del normalizador $G$ es el mismo que el normalizador de $P$?

Answer 1

Tenemos lo siguiente: $P\leq N(P)\leq N(N(P))$. Vemos que $P$ es también un grupo de Sylow $p$%-de $N(P)$ y de $N(N(P))$. Si $x\in N(N(P))$, entonces $xPx^{-1}\leq xN(P)x^{-1}=N(P)$, y dado que todos los subgrupos de Sylow $p$%-son conjugados, tenemos que existe $y\in N(P)$ tal que $xPx^{-1}=yPy^{-1}$. Pero como $y\in N(P)$, tenemos ese $yPy^{-1}=P$, y así $xPx^{-1}=P$. Esto muestra que $x\in N(P)$, y deben ser los mismos.

Answer 2

Sugerencias ($N(H)$ denota el normalizador de un subgrupo $H\le G$ en $G$):

1) Mostrar que $P$ es el único subgrupo de Sylow $p$%-subgrupo de$N(P)$. Recuerda que todos están conjugados en $N(P)$.

2) Si $P$ y $P'$ son subgrupos de Sylow $p$ diferentes, muestre que $N(P)$ y $N(P')$ son A) conjugados en $G$, B) diferentes.

3) Mostrar que $P$ es el único subgrupo de Sylow $p$%-de $N(N(P))$.

4) Mostrar que $P\unlhd N(N(P))$.

Answer 3

Sugerencia: P es un subgrupo p normal de Sylow de $N_G(P)$...

Answer 4

Sea $N=N_G(P)$. Sea $x\in N_G(N)$, de modo que $xNx^{-1}=N$. Entonces $xPx^{-1}$ es un subgrupo de Sylow $p$%-de $N\leq G$. Dado que $P$ es normal en $N$, $P$ es el único subgrupo de Sylow $p$%-de $N$. Por lo tanto $xPx^{-1}=P$. Esto implica $x\in N$. Hemos demostrado $N_G(N_G(P))\subseteq N_G(P)$.

Deje $y\in N_G(P)$ Entonces ciertamente $yN_G(P)y^{-1}=N_G(P)$, de modo que $y\in N_G(N_G(P))$. Por lo tanto$N_G(P)\subseteq N_G(N_G(P))$.